MathLabs

第4题

正整数 NN 的真因数是指 NN 的正因数中除 NN 本身以外的因数。无穷数列 a1,a2,…a_1,a_2,\ldots 由正整数组成，其中每一项都至少有三个真因数。对每个 n≥1n\ge1，整数 an+1a_{n+1} 等于 ana_n 的最大三个真因数之和。求 a1a_1 所有可能的值。
第 6/8 步：中间情形不可能在数列中出现
上一步下一步
v2(x)=1, 5∣x ⟹ σ(x)=3130x is odd, contradicting that every term is evenv_2(x)=1,\,5\mid x\ \Longrightarrow\ \sigma(x)=\tfrac{31}{30}x\ \text{is odd, contradicting that every term is even}
详细分析

假设某一项满足 4∤x4\nmid x 但 5∣x5\mid x(从而 6∣x6\mid x、5∣x5\mid x、v2(x)=1v_2(x)=1);记 x=30kx=30k，其中 kk 为奇数(因 v2(x)=1v_2(x)=1 且 30=2⋅1530=2\cdot15、1515 为奇数迫使 v2(k)=0v_2(k)=0)。于是 σ(x)=3130x=31k\sigma(x)=\tfrac{31}{30}x=31k 是两个奇数之积，故为奇数。但第3步表明数列的每一项都必须是偶数，矛盾。因此这种中间情形在 aia_i 中实际上从不出现:只要 6∣an6\mid a_n 且 4∤an4\nmid a_n，就自动有 5∤an5\nmid a_n。