第4题

由第3–5步，只会出现两种行为:当 $4\mid a_n$ 时 $a_{n+1}=\tfrac{13}{12}a_n$，或当 $4\nmid a_n$ 时 $a_{n+1}=a_n$(此时由第5步必然也有 $5\nmid a_n$)。由于各项不能永远乘以 $\tfrac{13}{12}$(否则将无法保持留在 $S$ 中所需的整除结构)，故存在最小指标 $T$ 使 $a_T=a_{T+1}=\cdots$，此后恒为常数，且 $a_n=a_1\cdot(\tfrac{13}{12})^{\min(n,T)-1}$。记 $a_T=6\ell$，其中 $\ell$ 与 $10$ 互素(因 $4\nmid a_T$、$5\nmid a_T$、$6\mid a_T$)，即得 $a_1=(\tfrac{12}{13})^{T-1}a_T=12^{T-1}\cdot6\ell$。