MathLabs

第4题

正整数 NN 的真因数是指 NN 的正因数中除 NN 本身以外的因数。无穷数列 a1,a2,…a_1,a_2,\ldots 由正整数组成，其中每一项都至少有三个真因数。对每个 n≥1n\ge1，整数 an+1a_{n+1} 等于 ana_n 的最大三个真因数之和。求 a1a_1 所有可能的值。
第 8/8 步：结论
上一步下一步
a1=12e⋅6ℓ,e,ℓ≥0 integers, gcd⁡(ℓ,10)=1a_1=12^{e}\cdot6\ell,\qquad e,\ell\ge0\ \text{integers},\ \gcd(\ell,10)=1
详细分析

第6步表明每个有效的 a1a_1 都具有 12e⋅6ℓ12^e\cdot6\ell 的形式，其中 gcd⁡(ℓ,10)=1\gcd(\ell,10)=1(取 e=T−1≥0e=T-1\ge0)，而第2步表明每个这样的值确实都能生成有效的无穷数列。因此完整答案是:对满足 gcd⁡(ℓ,10)=1\gcd(\ell,10)=1 的整数 e,ℓ≥0e,\ell\ge0，a1=12e⋅6ℓa_1=12^e\cdot6\ell。