第5题

设爱丽丝在每个奇数轮都打 $x_{2i-1}=0$。无论巴扎怎么做，他自己的约束都迫使 $x_2^2+\cdots+x_{2k}^2\le2k$，故由柯西—施瓦茨不等式 $x_2+\cdots+x_{2k}\le\sqrt{k\cdot2k}=k\sqrt2$;由于奇数项都是 $0$，第 $2k$ 轮后的累计和 $x_1+\cdots+x_{2k}\le k\sqrt2$。若 $\lambda>1/\sqrt2$，选取足够大的 $k$ 使 $\lambda(2k+1)-k\sqrt2>\sqrt{2k+2}$(这是可能的，因为左边随 $k$ 线性增长，右边只按 $\sqrt k$ 增长)。此时爱丽丝可以合法地把 $x_{2k+1}$ 打成不超过 $\lambda(2k+1)-(x_1+\cdots+x_{2k})$ 的任意值，而这个上限至少为 $\lambda(2k+1)-k\sqrt2>\sqrt{2k+2}$;打出这样的值会使 $x_1^2+\cdots+x_{2k+1}^2>2k+2$ 立即成立，于是巴扎在下一轮没有合法的 $x_{2k+2}\ge0$ 而落败。