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第5题

爱丽丝(Alice)与巴扎(Bazza)在玩 inekoalaty 游戏，这是一个双人游戏，其规则依赖于双方都知道的正实数 λ\lambda。在游戏的第 nn 轮(从 n=1n=1 开始)会发生以下情况:若 nn 为奇数，爱丽丝选取一个非负实数 xnx_n，使得 x1+x2+⋯+xn≤λnx_1+x_2+\cdots+x_n\le\lambda n;若 nn 为偶数，巴扎选取一个非负实数 xnx_n，使得 x12+x22+⋯+xn2≤nx_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\le n。若某玩家无法选出合适的数 xnx_n，游戏结束，另一方获胜。若游戏永远进行下去，则双方都不获胜。所有已选的数对双方都是已知的。求所有使爱丽丝有必胜策略的 λ\lambda 值，以及所有使巴扎有必胜策略的情形。
第 4/4 步：结论:1/√2 是精确的临界值
上一步下一步
Alice wins  ⟺  λ>12,Bazza wins  ⟺  λ<12\text{Alice wins}\iff\lambda>\tfrac1{\sqrt2},\qquad \text{Bazza wins}\iff\lambda<\tfrac1{\sqrt2}
详细分析

第1步与第3步表明，恰好当 λ>1/2\lambda>1/\sqrt2 时爱丽丝有必胜策略，恰好当 λ<1/2\lambda<1/\sqrt2 时巴扎有必胜策略。而在 λ=1/2\lambda=1/\sqrt2 本身，两个估计式在极限下都变为等式而非严格不等式，因此谁都无法迫使对方无棋可下;这个临界值不属于任何一方的清单。