MathLabs

第6题

考虑一个 2025×20252025\times2025 的单位正方形网格。玛蒂尔达希望在网格上放置若干矩形瓷砖(大小可以不同),使得每块瓷砖的每条边都在网格线上,且每个单位正方形至多被一块瓷砖覆盖。求玛蒂尔达需要放置的最少瓷砖数,使得网格的每一行和每一列都恰好有一个单位正方形未被任何瓷砖覆盖。
第 1/6 步:所声称的答案
n=2025=452,answer=n+2n−3=2025+2⋅45−3=2112n=2025=45^2,\qquad \text{answer}=n+2\sqrt n-3=2025+2\cdot45-3=2112
详细分析

记 n=2025=452n=2025=45^2。断言是玛蒂尔达至少需要 n+2n−3n+2\sqrt n-3 块瓷砖,且这么多就足够;代入 n=2025n=2025、n=45\sqrt n=45 得 2025+90−3=21122025+90-3=2112。