第1题

一旦某个数变成 $1$，它就再也不会被选中(操作要求 $m,n>1$)。由第1步，每次操作要么严格减小黑板上所有数的正整数乘积，要么在保持该乘积不变的同时使 $1$ 的个数增加 $1$(这连续发生至多 $2025$ 次)。因此游戏必在有限步后终止。在对 $m,n>1$ 的每次操作中，$g$ 与 $mn/g^2$ 至少有一个大于 $1$(若 $g=1$ 则 $mn/g^2=mn>1$;若 $g>1$ 则 $g$ 本身就 $>1$)，故黑板绝不会全变成 $1$;另一方面，只要还有至少两个数大于 $1$，就能继续操作。因此终止时恰有一个整数 $M>1$ 和 $2025$ 个一。