国际数学奥林匹克 · 2026年

试题

第1题黑板上写有 $2026$ 个大于 $1$ 的整数，不一定互不相同。在一次操作中，孔子从黑板的不同位置选取两个整数 $m>1$ 与 $n>1$ ，并把这两个整数替换为 $\tfrac{\operatorname{lcm}(m,n)}{\gcd(m,n)}$ 与 $\gcd(m,n)$ 。只要还能进行，他就不断继续操作。(a) 求证:无论孔子如何选择，经过有限次操作后，黑板上恰有一个大于 $1$ 的整数 $M$ 。(b) 求证: $M$ 的值不依赖于孔子的选择。解法: 1
第2题设 $ABC$ 为三角形，点 $M$ 与 $N$ 分别为边 $AB$ 与 $AC$ 的中点。在三角形 $BMC$ 与 $BNC$ 的严格内部各取点 $K$ 与 $L$ ，使得 $K$ 在三角形 $ABL$ 的严格内部，且 $L$ 在三角形 $AKC$ 的严格内部。假设 $\angle KBA=\angle ACL$ 、 $\angle LBK=\angle LNC$ 且 $\angle LCK=\angle BMK$ 。设 $O$ 为三角形 $AKL$ 的外心。求证: $OM=ON$ 。解法: 1
第3题设 $n$ 为正整数。刘邦与项羽有一根长度为 $1$ 的木棍，想要在两人之间分配。刘邦先在木棍上标记至多 $n$ 个点，接着项羽在木棍上标记至多 $n$ 个点。所有被标记的点互不相同。然后在所有标记点处将木棍切断，得到若干小段。随后两人轮流取走任意一段尚未被取走的木棍，由刘邦先取。每个人的目标都是使自己拿到的木棍总长度最大。对每个 $n$ ，求最大的常数 $c$ ，使得无论项羽如何行动，刘邦都能保证自己拿到的总长度至少为 $c$ 。解法: 1
第4题单于与花木兰在玩一个游戏。设 $\theta$ 为双方已知的一个角，满足 $0^\circ<\theta<180^\circ$ 。起初，单于按自己选择的尺寸制作一个纸三角形 $T$ 。随后他们重复进行以下步骤:若 $T$ 至少有一个角恰好等于 $\theta$ ，则游戏停止且花木兰获胜;否则，花木兰在 $T$ 的周界上选取异于三个顶点的一点 $P$ ，并从 $P$ 向 $T$ 的对顶点笔直剪一刀，将其分成两个三角形;单于丢弃其中一个三角形，剩下的三角形作为新的 $T$ 。对哪些实数 $\theta$ ，无论单于如何应对，花木兰都能保证在有限步内获胜？解法: 1
第5题设 $\mathbb{R}_{>0}$ 为正实数集合。求所有函数 $f:\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}_{>0}$ ，使得对任意 $x,y\in\mathbb{R}_{>0}$ 都有 $\sqrt{\tfrac{x^2+f(y)^2}{2}}\ge\tfrac{f(x)+y}{2}\ge\sqrt{xf(y)}$ 。解法: 1
第6题设 $a_1,a_2,a_3,\ldots$ 是由大于 $1$ 的正整数组成的无穷数列。假设对所有正整数 $n$ ，数 $a_{n+1}$ 是大于 $a_n$ 且对每个 $i=1,2,\ldots,n$ 都满足 $\gcd(a_{n+1},a_i)>1$ 的最小正整数。求证:存在正整数 $T$ 与 $L$ ，使得对每个正整数 $n$ 都有 $a_{n+T}=a_n+L$ 。解法: 1