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第2题

设 ABCABC 为三角形，点 MM 与 NN 分别为边 ABAB 与 ACAC 的中点。在三角形 BMCBMC 与 BNCBNC 的严格内部各取点 KK 与 LL，使得 KK 在三角形 ABLABL 的严格内部，且 LL 在三角形 AKCAKC 的严格内部。假设 ∠KBA=∠ACL\angle KBA=\angle ACL、∠LBK=∠LNC\angle LBK=\angle LNC 且 ∠LCK=∠BMK\angle LCK=\angle BMK。设 OO 为三角形 AKLAKL 的外心。求证:OM=ONOM=ON。
第 1/4 步：把三个角条件转化为四点共圆
上一步下一步
X:=BK∩AC,Y:=CL∩AB ⟹ BYXC, MYXN, XNLB (ωB), YMKC (ωC) cyclicX:=BK\cap AC,\quad Y:=CL\cap AB\ \Longrightarrow\ BYXC,\ MYXN,\ XNLB\ (\omega_B),\ YMKC\ (\omega_C)\ \text{cyclic}
详细分析

使用有向角与有向长度，因此点在延长线上时无需分情况。令 X:=BK∩ACX:=BK\cap AC、Y:=CL∩ABY:=CL\cap AB。第一个条件给出 ∠YBC=∠KBA=∠ACL=∠XCB\angle YBC=\angle KBA=\angle ACL=\angle XCB，由等角判据 BYXCBYXC 四点共圆。中位线关系 MN∥BCMN\parallel BC(△ABC\triangle ABC 的中位线) 与第一个圆的割线乘积等式共同说明经过 M,Y 与 N,X 的两条直线上的乘积相等，故 MYXNMYXN 四点共圆。接着，∠LBX=∠LBK=∠LNC=∠LNX\angle LBX=\angle LBK=\angle LNC=\angle LNX 表明 XNLBXNLB 四点共圆，记其外接圆为 ωB\omega_B。同理，∠YCK=∠LCK=∠BMK=∠YMK\angle YCK=\angle LCK=\angle BMK=\angle YMK 表明 YMKCYMKC 四点共圆，记其外接圆为 ωC\omega_C。严格内部条件保证所需点互异，有向角则涵盖每条直线上的任意次序。