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第2题

设 ABCABC 为三角形，点 MM 与 NN 分别为边 ABAB 与 ACAC 的中点。在三角形 BMCBMC 与 BNCBNC 的严格内部各取点 KK 与 LL，使得 KK 在三角形 ABLABL 的严格内部，且 LL 在三角形 AKCAKC 的严格内部。假设 ∠KBA=∠ACL\angle KBA=\angle ACL、∠LBK=∠LNC\angle LBK=\angle LNC 且 ∠LCK=∠BMK\angle LCK=\angle BMK。设 OO 为三角形 AKLAKL 的外心。求证:OM=ONOM=ON。
第 3/4 步：引入中点 E, F:七点共圆
上一步下一步
E:=midpoint of BY,F:=midpoint of CX ⟹ A,K,L,E,F,K′,L′ concyclicE:=\text{midpoint of }BY,\quad F:=\text{midpoint of }CX\ \Longrightarrow\ A,K,L,E,F,K',L'\ \text{concyclic}
详细分析

实直线 XKXK 与 XCXC（后者就是直线 ACAC）已经各含有 ωC\omega_C 上的一点，所以各自与 ωC\omega_C 还有一个实交点；记为 K′K' 与 C′C'（若相切则按重数计）。在 ωB\omega_B 上对称定义 L′,B′L',B'。使用有向乘积，过 AA 的 ωC\omega_C 割线在 ACAC 上的端点为 C,C′C,C'，在 AYAY 上的端点为 Y,MY,M。因此点 AA 对 ωC\omega_C 以及圆 MYXNMYXN（在相应割线描述中经过 Y,M,C′,CY,M,C',C）的圆幂给出 AC′⋅AC=AY⋅AM=AX⋅ANAC'\cdot AC=AY\cdot AM=AX\cdot AN。由于 NN 是 ACAC 的中点，AN=12ACAN=\tfrac12AC；约去非零有向长度 ACAC 得 AC′=12AXAC'=\tfrac12AX，所以 C′C' 是 AXAX 的中点。对称论证给出 B′B' 是 AYAY 的中点。