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第2题

设 ABCABC 为三角形，点 MM 与 NN 分别为边 ABAB 与 ACAC 的中点。在三角形 BMCBMC 与 BNCBNC 的严格内部各取点 KK 与 LL，使得 KK 在三角形 ABLABL 的严格内部，且 LL 在三角形 AKCAKC 的严格内部。假设 ∠KBA=∠ACL\angle KBA=\angle ACL、∠LBK=∠LNC\angle LBK=\angle LNC 且 ∠LCK=∠BMK\angle LCK=\angle BMK。设 OO 为三角形 AKLAKL 的外心。求证:OM=ONOM=ON。
第 4/4 步：M 与 N 对 (AEF) 的幂相等，从而 OM = ON
上一步下一步
MA⋅ME=12AM⋅AY=12AN⋅AX=NA⋅NF ⟹ OM2−R2=ON2−R2 ⟹ OM=ONMA\cdot ME=\tfrac12AM\cdot AY=\tfrac12AN\cdot AX=NA\cdot NF\ \Longrightarrow\ OM^2-R^2=ON^2-R^2\ \Longrightarrow\ OM=ON
详细分析

由于 MM 是 ABAB 的中点、EE 是 BYBY 的中点，沿直线 ABAB 按有向长度有 ME=12AYME=\tfrac12AY;同理沿直线 ACAC 有 NF=12AXNF=\tfrac12AX。利用共圆四边形 MYXNMYXN(第1步)所得的 AM⋅AY=AN⋅AXAM\cdot AY=AN\cdot AX，点 MM 与 NN 对圆 (AEF)(AEF) 的幂满足 MA⋅ME=12AM⋅AY=12AN⋅AX=NA⋅NFMA\cdot ME=\tfrac12AM\cdot AY=\tfrac12AN\cdot AX=NA\cdot NF。因为 OO 是 (AKL)=(AEF)(AKL)=(AEF) 的圆心、RR 是其半径，点的圆幂等于 d2−R2d^2-R^2，故 OM2−R2=ON2−R2OM^2-R^2=ON^2-R^2，从而 OM=ONOM=ON。