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第4题

单于与花木兰在玩一个游戏。设 θ\theta 为双方已知的一个角，满足 0∘<θ<180∘0^\circ<\theta<180^\circ。起初，单于按自己选择的尺寸制作一个纸三角形 TT。随后他们重复进行以下步骤:若 TT 至少有一个角恰好等于 θ\theta，则游戏停止且花木兰获胜;否则，花木兰在 TT 的周界上选取异于三个顶点的一点 PP，并从 PP 向 TT 的对顶点笔直剪一刀，将其分成两个三角形;单于丢弃其中一个三角形，剩下的三角形作为新的 TT。对哪些实数 θ\theta，无论单于如何应对，花木兰都能保证在有限步内获胜？
第 2/4 步：当 θ = 180°/n 时花木兰必胜
上一步下一步
θ=180∘n (n≥2):∠A=90∘, ∠B≤45∘, 45∘<kθ≤90∘ ⟹ ∠ADC=kθ, ∠ADB=(n−k)θ\theta=\frac{180^\circ}{n}\ (n\ge2):\quad \angle A=90^\circ,\ \angle B\le45^\circ,\ 45^\circ<k\theta\le90^\circ\ \Longrightarrow\ \angle ADC=k\theta,\ \angle ADB=(n-k)\theta
详细分析

设 θ=180∘/n\theta=180^\circ/n，其中整数 n≥2n\ge2。设初始三角形的最大角顶点为 VV；从 V 向对边作高时，高足落在对边内部(其余两个角均为锐角)，所以这是合法的第一刀。无论单于保留哪一块，留下的都是直角三角形。将其重新记为 ABCABC，使 ∠A=90∘\angle A=90^\circ，并交换 B,CB,C 的记号使 ∠B≤45∘\angle B\le45^\circ。若 n=2n=2，则 θ=90∘=∠A\theta=90^\circ=\angle A，花木兰立即获胜。若 n≥3n\ge3，取满足 n/4<k≤n/2n/4<k\le n/2 的整数 kk：n=3n=3 时取 k=1k=1；n≥4n\ge4 时区间 (n/4,n/2](n/4,n/2] 长度至少为一，必含整数。因此 45∘<kθ≤90∘45^\circ<k\theta\le90^\circ。由于 ∠B≤45∘\angle B\le45^\circ，kθ−∠Bk\theta-\angle B 严格介于 0∘0^\circ 与 90∘90^\circ 之间；从 AA 出发与 ABAB 成此角的射线会在 BCBC 内部与之交于合法点 DD。在 △ABD\triangle ABD 中，由外角定理 ∠ADC=∠B+∠BAD=kθ\angle ADC=\angle B+\angle BAD=k\theta。其邻补角为 ∠ADB=180∘−kθ=(n−k)θ\angle ADB=180^\circ-k\theta=(n-k)\theta，且 n−k≥1n-k\ge1。于是子三角形 ABDABD 含正整数倍 (n−k)θ(n-k)\theta，子三角形 ACDACD 含 kθk\theta；由第1步，无论单于保留哪一块，花木兰至多用这两刀即可获胜。