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第4题

单于与花木兰在玩一个游戏。设 θ\theta 为双方已知的一个角，满足 0∘<θ<180∘0^\circ<\theta<180^\circ。起初，单于按自己选择的尺寸制作一个纸三角形 TT。随后他们重复进行以下步骤:若 TT 至少有一个角恰好等于 θ\theta，则游戏停止且花木兰获胜;否则，花木兰在 TT 的周界上选取异于三个顶点的一点 PP，并从 PP 向 TT 的对顶点笔直剪一刀，将其分成两个三角形;单于丢弃其中一个三角形，剩下的三角形作为新的 TT。对哪些实数 θ\theta，无论单于如何应对，花木兰都能保证在有限步内获胜？
第 3/4 步：当 θ ≠ 180°/n 时，单于可以永远保持三个角都安全
上一步下一步
θ≠180∘n:∠CDA=180∘−∠ADB,∠DAC=∠A−∠BAD ⟹ a safe triangle cannot be split into two unsafe triangles\theta\ne\frac{180^\circ}{n}:\quad \angle CDA=180^\circ-\angle ADB,\quad \angle DAC=\angle A-\angle BAD\ \Longrightarrow\ \text{a safe triangle cannot be split into two unsafe triangles}
详细分析

设 θ\theta 不是 180∘/n180^\circ/n 的形式，从而 180∘∉Zθ180^\circ\notin\mathbb{Z}\theta。不为 θ\theta 的整数倍的角称为安全角。安全的初始三角形确实存在：在 (0∘,180∘)(0^\circ,180^\circ) 中只有有限个 θ\theta 的倍数，先取一个一般的正角 AA，再取 BB 避开使 BB 或 180∘−A−B180^\circ-A-B 成为禁值的有限多个取值，即可使三个角都安全。现在设 ABCABC 安全，合法地沿 ADAD 向边 BCBC 内部的点 DD 作切割，得到 ABDABD 与 ACD。记 x=∠BADx=\angle BAD、y=∠ADBy=\angle ADB。若 ABDABD 安全，单于保留它。否则因 ∠B\angle B 安全，x,yx,y 至少有一个是 θ\theta 的整数倍。若 xx 是这样的倍数，则 ∠DAC=∠A−x\angle DAC=\angle A-x 安全(安全角减去整数倍)，且 ∠CDA=∠B+x\angle CDA=\angle B+x 安全(安全角加上整数倍)；再加上原本安全的角 CC，故 ACDACD 安全。若 yy 是这样的倍数，则 ∠CDA=180∘−y\angle CDA=180^\circ-y 安全，因为 180∘180^\circ 不是整数倍，而 ∠DAC=y−∠C\angle DAC=y-\angle C 也安全，因为 ∠C\angle C 安全。因此 ACDACD 同样安全。于是每次切割后单于都能保留一个安全子三角形，归纳得任意有限次切割后仍有安全三角形；没有三角形含有等于 θ\theta 的角，所以花木兰无法强制获胜。