第5题

设

\mathbb{R}_{>0}

为正实数集合。求所有函数

f:\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}_{>0}

，使得对任意

x,y\in\mathbb{R}_{>0}

都有

\sqrt{\tfrac{x^2+f(y)^2}{2}}\ge\tfrac{f(x)+y}{2}\ge\sqrt{xf(y)}

。

第 1/4 步：验证对所有 c ≥ 0 函数 f(x) = x + c 均满足条件

上一步下一步

f(x)=x+c\ (c\ge0):\qquad \sqrt{\frac{x^2+(y+c)^2}{2}}\ge\frac{x+(y+c)}{2}\ge\sqrt{x(y+c)}

详细分析

对 $f(x)=x+c$ ( $c\ge0$ )，在 $\mathbb{R}_{>0}$ 上有 $f(x)>0$ 且 $\tfrac{f(x)+y}{2}=\tfrac{x+f(y)}{2}$ ，因此给定的不等式链化为对正实数 $a=x$ 与 $b=f(y)=y+c$ 应用的标准平方—算术—几何平均不等式 $\sqrt{\tfrac{a^2+b^2}{2}}\ge\tfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$ 。