第5题

设

\mathbb{R}_{>0}

为正实数集合。求所有函数

f:\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}_{>0}

，使得对任意

x,y\in\mathbb{R}_{>0}

都有

\sqrt{\tfrac{x^2+f(y)^2}{2}}\ge\tfrac{f(x)+y}{2}\ge\sqrt{xf(y)}

。

第 3/4 步：所有正公差都必须相等

上一步下一步

\frac{(x+(m+1)A)+(y+nB)}{2}\ge\sqrt{(x+mA)(y+(n+1)B)}\ \Longleftrightarrow\ \bigl(\sqrt{x+mA}-\sqrt{y+(n+1)B}\bigr)^2\ge B-A

详细分析

设 $x,y>0$ 满足 $A:=d(x)>0$ 与 $B:=d(y)>0$ 。对 $u=f^m(x)=x+mA$ 与 $v=f^n(y)=y+nB$ 应用右侧不等式 $\tfrac{f(u)+v}{2}\ge\sqrt{uf(v)}$ (利用 $f(u)=x+(m+1)A$ 及 $f(v)=y+(n+1)B$ )并整理，得 $\bigl(\sqrt{x+mA}-\sqrt{y+(n+1)B}\bigr)^2\ge B-A$ 。若 $B>A$ ，则对所有 $m,n\ge1$ ，数 $\sqrt{x+mA}$ 与 $\sqrt{y+(n+1)B}$ 的距离都至少为 $\sqrt{B-A}>0$ ;然而当 $m\to\infty$ 时，序列 $\sqrt{x+mA}$ 趋于 $\infty$ 且相邻项之差 $\sqrt{x+(m+1)A}-\sqrt{x+mA}\to0$ ，故对充分大的 $n$ 它会落入距 $\sqrt{y+(n+1)B}$ 小于 $\sqrt{B-A}$ 的范围内，矛盾。因此 $B\le A$ ，由对称性得 $A=B$ 。于是存在单一常数 $D\ge0$ ，使得对每个 $x>0$ 都有 $f(x)\in\{x,x+D\}$ 。