第5题

设

\mathbb{R}_{>0}

为正实数集合。求所有函数

f:\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}_{>0}

，使得对任意

x,y\in\mathbb{R}_{>0}

都有

\sqrt{\tfrac{x^2+f(y)^2}{2}}\ge\tfrac{f(x)+y}{2}\ge\sqrt{xf(y)}

。

第 4/4 步：排除不动点混合情形并得出结论

上一步下一步

f(x)=x+D,\ f(y)=y,\ D>0\ \Longrightarrow\ |x-y|>D\ \Longrightarrow\ f(t)=t+D\ \text{for all }t>0

详细分析

若 $f$ 为恒等函数，则 $c=0$ 即可;否则 $D>0$ 且存在 $x>0$ 使 $f(x)=x+D$ 。假设存在 $y>0$ 使 $f(y)=y$ 。若 $y<x\le y+D$ ，则在 $(x,y)$ 处的左侧不等式给出 $x>\sqrt{\tfrac{x^2+y^2}{2}}=\sqrt{\tfrac{x^2+f(y)^2}{2}}\ge\tfrac{f(x)+y}{2}=\tfrac{x+(y+D)}{2}\ge x$ ，矛盾;若 $x<y\le x+D$ ，则在 $(y,x)$ 处的右侧不等式给出 $y>\tfrac{y+x}{2}=\tfrac{f(y)+x}{2}\ge\sqrt{yf(x)}=\sqrt{y(x+D)}\ge y$ ，同样矛盾。因此 $f(x)=x+D$ 迫使对所有 $t\in[x-D,x+D]\cap\mathbb{R}_{>0}$ 都有 $f(t)=t+D$ ，逐步向外延拓该区间即可覆盖整个 $\mathbb{R}_{>0}$ 。综上，所求函数恰为 $f(x)=x+c$ ，其中常数 $c\ge0$ 。