第6题

对正整数 $x$，记 $\operatorname{rad}(x)$ 为 $x$ 的不同素因子之积。由数列的贪心定义，整数 $x\ge a_1$ 出现在数列中当且仅当对所有满足 $a_i<x$ 的 $i$ 都有 $\gcd(x,a_i)>1$。当 $m\le n$ 且 $\operatorname{rad}(a_m)\mid\operatorname{rad}(a_n)$ 时定义数列上的偏序 $a_m\preceq a_n$。每当 $a_m\preceq a_i$ 时，整除 $\gcd(x,a_m)$ 的每个素数也整除 $a_i$，故 $\gcd(x,a_m)>1$ 自动推出 $\gcd(x,a_i)>1$。因此 $x\ge a_1$ 出现在数列中当且仅当对所有 $\preceq$-极小项 $a_i<x$ 都有 $\gcd(x,a_i)>1$。