第6题

称素数 $p$ 为大素数若 $p>a_1^2$，称为小素数若 $p\le a_1^2$。我们对 $n\ge1$ 归纳证明:若 $a_n$ 被某个大素数 $p$ 整除，则 $a_n$ 不是 $\preceq$-极小的。记 $a_n=pc$，任取素因子 $q\mid\gcd(a_1,a_n)$;则 $q\le a_1<a_1^2<p$，故 $q\ne p$，从而 $q\mid c$。在公比为 $q\le a_1$ 的等比数列 $c,qc,q^2c,\ldots$ 中，因 $a_n/a_1\ge p/a_1>a_1\ge q$，故至少有一项 $x:=q^kc$ 落在区间 $[a_1,a_n)$ 内。对每个 $\preceq$-极小项 $a_i<a_n$，由归纳假设知大素数 $p$ 不整除 $a_i$，因此 $\gcd(q^kc,a_i)\ge\gcd(c,a_i)=\gcd(pc,a_i)=\gcd(a_n,a_i)>1$。由第1步，$x=q^kc$ 必作为某项 $a_m$($m<n$，因 $x<a_n$)出现在数列中。由于 $q\mid c$，有 $\operatorname{rad}(q^kc)=\operatorname{rad}(c)\mid\operatorname{rad}(pc)=\operatorname{rad}(a_n)$，故 $a_m\prec a_n$，说明 $a_n$ 不是 $\preceq$-极小的。