第6题

设 $P$ 为小素数 $p\le a_1^2$ 的有限集合。由第2步，每个 $\preceq$-极小项的素因子都属于 $P$，故其根基整除 $L:=\prod_{p\in P}p$。因此 $\preceq$-极小项只有有限多个：对任意固定的根基，最早出现的项先于所有具有同一根基的后续项。对整个数列中的每个 $\preceq$-极小项 $a_i$ 都有 $\operatorname{rad}(a_i)\mid L$，且因 $a_1$ 的素因子也都属于 $P$，任意 $x\ge a_1$ 对所有 $a_i<x$ 的 $\preceq$-极小项满足 $\gcd(x,a_i)>1$，当且仅当它对整个数列中的所有 $\preceq$-极小项都满足这一条件（若某个 $a_i>x$ 的 $\preceq$-极小项有 $\gcd(x,a_i)=1$，则 $x$ 不可能在 $a_i$ 之前出现，矛盾）。由于所有这些根基都整除 $L$，有 $\gcd(x+L,a_i)>1\iff\gcd(x,a_i)>1$。所以 $x$ 出现在数列中当且仅当 $x+L$ 出现，得到所声称的平移周期性。