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热带几何 用热带运算 ⊕ = min \oplus=\min ⊕ = min ⊗ = + \otimes=+ ⊗ = +
直观 从普通算术到热带算术 设想每一次"加法"都意味着在两个价格中挑选更便宜的那个 ，每一次"乘法"都意味着把沿某条路线的费用加总 。在添加了 + ∞ +\infty + ∞ a ⊕ b = min ( a , b ) a \oplus b = \min(a, b) a ⊕ b = min ( a , b ) a ⊗ b = a + b a \otimes b = a + b a ⊗ b = a + b 热带多项式 就是把普通多项式里每个 + + + ⊕ \oplus ⊕ × \times × ⊗ \otimes ⊗ ⊗ \otimes ⊗ x ⊗ 3 x^{\otimes 3} x ⊗ 3 x x x 3 x 3x 3 x 有限多个线性函数的最小值 。它的"零点集"不再是一条光滑曲线，而是使这一最小值同时被至少两个线性分支取得的点集——也就是一个拐角，或者说一张分段线性图 。
为什么叫"热带"？这个名字是为了纪念伊姆雷·西蒙 （Imre Simon，1943–2009），一位出生于匈牙利的巴西计算机科学家，他从20世纪70年代末开始率先在理论计算机科学中研究 min-plus 代数。他在自动机理论领域的法国同事们创造了"热带"这个形容词，以此友好地致意西蒙定居的圣保罗——地处南回归线以南——用斯特姆费尔斯和斯派尔后来的话说，这"没有更深的含义"。当数学家们意识到在 min-plus 半环上做代数几何会产生一套丰富而真正几何化的理论时，这个名字就此沿用下来。
例题: 手动计算一个热带多项式的值
考虑一元热带多项式 p ( x ) = min ( 2 x + 3 , x + 1 , 2 ) p(x) = \min(2x + 3,\ x + 1,\ 2) p ( x ) = min ( 2 x + 3 , x + 1 , 2 ) 2 ⊗ x ⊗ 2 ⊕ 1 ⊗ x ⊕ 2 2 \otimes x^{\otimes 2} \oplus 1 \otimes x \oplus 2 2 ⊗ x ⊗ 2 ⊕ 1 ⊗ x ⊕ 2 x 2 , x , x 0 x^2, x, x^0 x 2 , x , x 0 2 , 1 , 2 2, 1, 2 2 , 1 , 2 p ( 1 ) p(1) p ( 1 )
解答 将 x = 1 x = 1 x = 1 2 ( 1 ) + 3 = 5 2(1) + 3 = 5 2 ( 1 ) + 3 = 5 1 + 1 = 2 1 + 1 = 2 1 + 1 = 2 2 2 2 p ( 1 ) = min ( 5 , 2 , 2 ) = 2 p(1) = \min(5, 2, 2) = 2 p ( 1 ) = min ( 5 , 2 , 2 ) = 2 相等 （2 = 2 2 = 2 2 = 2 拐点 ，它是根的热带类比。
大学 热带半环与热带曲线 定义: 热带半环
热带半环 （采用 min-plus 约定）是集合 T = R ∪ { + ∞ } \mathbb{T} = \mathbb{R} \cup \{+\infty\} T = R ∪ { + ∞ } a ⊕ b = min ( a , b ) a \oplus b = \min(a, b) a ⊕ b = min ( a , b ) a ⊗ b = a + b a \otimes b = a + b a ⊗ b = a + b 半环 而非环：⊕ \oplus ⊕ ⊗ \otimes ⊗ ⊗ \otimes ⊗ ⊕ \oplus ⊕ + ∞ +\infty + ∞ x x x a a a min ( a , x ) = + ∞ \min(a, x) = +\infty min ( a , x ) = + ∞ + ∞ +\infty + ∞ min ( a , + ∞ ) = a \min(a, +\infty) = a min ( a , + ∞ ) = a 0 0 0 a + 0 = a a + 0 = a a + 0 = a max-plus 约定，即 ⊕ = max \oplus = \max ⊕ = max x ↦ − x x \mapsto -x x ↦ − x
n n n 热带多项式 是有限多个 ⊗ \otimes ⊗ ⊕ \oplus ⊕ p ( x ) = ⨁ α ∈ S c α ⊗ x ⊗ α = min α ∈ S ( c α + α ⋅ x ) p(x) = \bigoplus_{\alpha \in S} c_\alpha \otimes x^{\otimes \alpha} = \min_{\alpha \in S} \big(c_\alpha + \alpha \cdot x\big) p ( x ) = ⨁ α ∈ S c α ⊗ x ⊗ α = min α ∈ S ( c α + α ⋅ x ) p : R n → R p : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} p : R n → R S S S α ∈ Z n \alpha \in \mathbb{Z}^n α ∈ Z n c α ∈ R c_\alpha \in \mathbb{R} c α ∈ R p p p 分段线性且凹 。由 p p p 热带超曲面 （当 n = 2 n = 2 n = 2 热带曲线 ）就是它的拐角轨迹 V ( p ) = { x ∈ R n : the minimum in p ( x ) is attained by at least two terms } V(p) = \{x \in \mathbb{R}^n : \text{the minimum in } p(x) \text{ is attained by at least two terms}\} V ( p ) = { x ∈ R n : the minimum in p ( x ) is attained by at least two terms } p p p
p ( x ) = ⨁ α ∈ S c α ⊗ x ⊗ α = min α ∈ S ( c α + α ⋅ x ) p(x) = \bigoplus_{\alpha \in S} c_\alpha \otimes x^{\otimes \alpha} = \min_{\alpha \in S} \big(c_\alpha + \alpha \cdot x\big) p ( x ) = α ∈ S ⨁ c α ⊗ x ⊗ α = α ∈ S min ( c α + α ⋅ x ) n n n 热带多项式 是有限多个 ⊗ \otimes ⊗ ⊕ \oplus ⊕ p ( x ) = ⨁ α ∈ S c α ⊗ x ⊗ α = min α ∈ S ( c α + α ⋅ x ) p(x) = \bigoplus_{\alpha \in S} c_\alpha \otimes x^{\otimes \alpha} = \min_{\alpha \in S} \big(c_\alpha + \alpha \cdot x\big) p ( x ) = ⨁ α ∈ S c α ⊗ x ⊗ α = min α ∈ S ( c α + α ⋅ x ) p : R n → R p : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} p : R n → R S S S α ∈ Z n \alpha \in \mathbb{Z}^n α ∈ Z n c α ∈ R c_\alpha \in \mathbb{R} c α ∈ R p p p 分段线性且凹 。由 p p p 热带超曲面 （当 n = 2 n = 2 n = 2 热带曲线 ）就是它的拐角轨迹 ，即至少有两条线性分支同时取得最小值的点集：V ( p ) = { x ∈ R n : ∣ { α ∈ S : c α + α ⋅ x = p ( x ) } ∣ ≥ 2 } V(p) = \{x \in \mathbb{R}^n : |\{\alpha \in S : c_\alpha + \alpha \cdot x = p(x)\}| \ge 2\} V ( p ) = { x ∈ R n : ∣ { α ∈ S : c α + α ⋅ x = p ( x )} ∣ ≥ 2 } p p p
例题: 热带直线
考虑两个变量中最简单的、所有系数都为 0 0 0 1 1 1 q ( x , y ) = x ⊕ y ⊕ 0 = min ( x , y , 0 ) q(x, y) = x \oplus y \oplus 0 = \min(x, y, 0) q ( x , y ) = x ⊕ y ⊕ 0 = min ( x , y , 0 )
解答 三条线性分支分别是 x x x y y y 0 0 0 x < y x < y x < y x < 0 x < 0 x < 0 x x x y < x y < x y < x y < 0 y < 0 y < 0 y y y x > 0 x > 0 x > 0 y > 0 y > 0 y > 0 0 0 0 从原点发出的三条射线 组成：射线 { x = y ≤ 0 } \{x = y \le 0\} { x = y ≤ 0 } ( − 1 , − 1 ) (-1,-1) ( − 1 , − 1 ) x x x y y y { x = 0 , y ≥ 0 } \{x = 0,\ y \ge 0\} { x = 0 , y ≥ 0 } ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) x x x { y = 0 , x ≥ 0 } \{y = 0,\ x \ge 0\} { y = 0 , x ≥ 0 } ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) y y y
∑ j = 1 k w j v j = 0 \sum_{j=1}^{k} w_j v_j = 0 j = 1 ∑ k w j v j = 0 设 p p p v v v V ( p ) V(p) V ( p ) v v v V ( p ) V(p) V ( p ) v 1 , … , v k ∈ Z 2 v_1, \dots, v_k \in \mathbb{Z}^2 v 1 , … , v k ∈ Z 2 v v v w 1 , … , w k w_1, \dots, w_k w 1 , … , w k ∑ j = 1 k w j v j = 0 \sum_{j=1}^{k} w_j v_j = 0 ∑ j = 1 k w j v j = 0
为什么成立? 这是一条守恒律 ，其结构与电路节点处的基尔霍夫电流定律完全相同：在 v v v p p p v v v v v v p p p w j v j w_j v_j w j v j p p p 真正代数意义上 的曲线，即某个真实热带多项式的拐角轨迹，而不是射线与线段的任意拼凑。
证明 回顾 p ( x ) = min α ∈ S ( c α + α ⋅ x ) p(x) = \min_{\alpha \in S}(c_\alpha + \alpha \cdot x) p ( x ) = min α ∈ S ( c α + α ⋅ x ) c o n v ( S ) \mathrm{conv}(S) conv ( S ) 正则剖分 Δ p \Delta_p Δ p α ∈ S \alpha \in S α ∈ S c α c_\alpha c α V ( p ) V(p) V ( p ) e e e Δ p \Delta_p Δ p e ∗ e^* e ∗ e e e e ∗ e^* e ∗ 90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘ w w w e ∗ e^* e ∗ V ( p ) V(p) V ( p ) v v v Δ p \Delta_p Δ p 2 2 2 σ v \sigma_v σ v v v v V ( p ) V(p) V ( p ) σ v \sigma_v σ v σ v \sigma_v σ v e 1 ∗ , … , e k ∗ e_1^*, \dots, e_k^* e 1 ∗ , … , e k ∗ e 1 ∗ + ⋯ + e k ∗ = 0 e_1^* + \cdots + e_k^* = 0 e 1 ∗ + ⋯ + e k ∗ = 0 90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘ R R R R ( e j ∗ ) R(e_j^*) R ( e j ∗ ) w j v j w_j v_j w j v j w j w_j w j e j ∗ e_j^* e j ∗ v j v_j v j e j ∗ e_j^* e j ∗ e 1 ∗ + ⋯ + e k ∗ = 0 e_1^* + \cdots + e_k^* = 0 e 1 ∗ + ⋯ + e k ∗ = 0 R R R w 1 v 1 + ⋯ + w k v k = R ( 0 ) = 0 w_1 v_1 + \cdots + w_k v_k = R(0) = 0 w 1 v 1 + ⋯ + w k v k = R ( 0 ) = 0
来验证一下上面那条热带直线的平衡条件：在原点处，三条射线的本原方向分别是 ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) ( − 1 , − 1 ) (-1,-1) ( − 1 , − 1 ) 1 1 1 q q q 0 0 0 1 1 1 1 ⋅ ( 1 , 0 ) + 1 ⋅ ( 0 , 1 ) + 1 ⋅ ( − 1 , − 1 ) = ( 0 , 0 ) 1\cdot(1,0) + 1\cdot(0,1) + 1\cdot(-1,-1) = (0,0) 1 ⋅ ( 1 , 0 ) + 1 ⋅ ( 0 , 1 ) + 1 ⋅ ( − 1 , − 1 ) = ( 0 , 0 )
进阶 从形式赋值到真正的代数理论 上面的热带直线是用任意系数手工构造出来的，但最深刻的热带曲线来自对真实代数簇的热带化 。设 K K K 赋值 v a l : K ∗ → R \mathrm{val} : K^* \to \mathbb{R} val : K ∗ → R v a l ( a b ) = v a l ( a ) + v a l ( b ) \mathrm{val}(ab) = \mathrm{val}(a) + \mathrm{val}(b) val ( ab ) = val ( a ) + val ( b ) v a l ( a + b ) ≥ min ( v a l ( a ) , v a l ( b ) ) \mathrm{val}(a+b) \ge \min(\mathrm{val}(a), \mathrm{val}(b)) val ( a + b ) ≥ min ( val ( a ) , val ( b )) C { { t } } \mathbb{C}\{\!\{t\}\} C { { t }} v a l \mathrm{val} val t t t p p p Q p \mathbb{Q}_p Q p v a l \mathrm{val} val p p p v a l \mathrm{val} val t r o p : ( K ∗ ) n → R n \mathrm{trop} : (K^*)^n \to \mathbb{R}^n trop : ( K ∗ ) n → R n t r o p ( x 1 , … , x n ) = ( v a l ( x 1 ) , … , v a l ( x n ) ) \mathrm{trop}(x_1, \dots, x_n) = (\mathrm{val}(x_1), \dots, \mathrm{val}(x_n)) trop ( x 1 , … , x n ) = ( val ( x 1 ) , … , val ( x n )) X ⊆ ( K ∗ ) n X \subseteq (K^*)^n X ⊆ ( K ∗ ) n 热带化 t r o p ( X ) \mathrm{trop}(X) trop ( X ) t r o p ( X ( K ) ) \mathrm{trop}(X(K)) trop ( X ( K )) R n \mathbb{R}^n R n
将这套形式机制与真正的代数几何联系起来的最重要事实，就是热带几何基本定理 ：对于在具有非平凡赋值的代数闭域 K K K I I I X = V ( I ) ⊆ ( K ∗ ) n X = V(I) \subseteq (K^*)^n X = V ( I ) ⊆ ( K ∗ ) n t r o p ( X ) \mathrm{trop}(X) trop ( X ) I I I V ( t r o p ( I ) ) ) V(\mathrm{trop}(I))) V ( trop ( I ))) X X X 解析 热带化与仅由理想构造出的纯组合 热带簇是一致的。米哈伊尔·卡普拉诺夫在1990年代证明了超曲面情形（只有一个定义多项式）；对任意理想的一般陈述，连同借助格罗布纳理论与初始理想给出的完整证明，是在戴安·麦克拉根与伯恩德·斯特姆费尔斯 2015 2015 2015
早在有人把这一切称为"热带"之前，计算机科学家就已经在手工做热带线性代数了。带权有向图上的全源最短路径问题 正是 ( min , + ) (\min, +) ( min , + ) A A A n × n n \times n n × n A i j A_{ij} A ij i i i j j j A i j = + ∞ A_{ij} = +\infty A ij = + ∞ A i i = 0 A_{ii} = 0 A ii = 0 热带矩阵乘法 的定义与普通线性代数完全一样，只是把 + + + ⊕ \oplus ⊕ × \times × ⊗ \otimes ⊗ ( A ⊗ B ) i j = ⨁ k ( A i k ⊗ B k j ) = min k ( A i k + B k j ) (A \otimes B)_{ij} = \bigoplus_k \big(A_{ik} \otimes B_{kj}\big) = \min_k \big(A_{ik} + B_{kj}\big) ( A ⊗ B ) ij = ⨁ k ( A ik ⊗ B k j ) = min k ( A ik + B k j )
d i j ( k ) = min ( d i j ( k − 1 ) , d i k ( k − 1 ) + d k j ( k − 1 ) ) d_{ij}^{(k)} = \min\big(d_{ij}^{(k-1)},\ d_{ik}^{(k-1)} + d_{kj}^{(k-1)}\big) d ij ( k ) = min ( d ij ( k − 1 ) , d ik ( k − 1 ) + d k j ( k − 1 ) ) 设 A A A n n n ( min , + ) (\min,+) ( min , + ) A ⊗ m A^{\otimes m} A ⊗ m A A A m m m ( A ⊗ ( n − 1 ) ) i j (A^{\otimes(n-1)})_{ij} ( A ⊗ ( n − 1 ) ) ij i i i j j j Floyd–Warshall 算法 所计算的量，其递推式 d i j ( k ) = min ( d i j ( k − 1 ) , d i k ( k − 1 ) + d k j ( k − 1 ) ) d_{ij}^{(k)} = \min\big(d_{ij}^{(k-1)},\ d_{ik}^{(k-1)} + d_{kj}^{(k-1)}\big) d ij ( k ) = min ( d ij ( k − 1 ) , d ik ( k − 1 ) + d k j ( k − 1 ) ) A ⊗ ( n − 1 ) A^{\otimes(n-1)} A ⊗ ( n − 1 )
为什么成立? 元素 ( A ⊗ m ) i j (A^{\otimes m})_{ij} ( A ⊗ m ) ij i i i j j j m m m n − 1 n - 1 n − 1 n n n n − 1 n - 1 n − 1
证明 对 m m m 基础情形 m = 1 m = 1 m = 1 ( A ⊗ 1 ) i j = A i j (A^{\otimes 1})_{ij} = A_{ij} ( A ⊗ 1 ) ij = A ij 归纳步骤 ：假设对每个 k k k ( A ⊗ m ) i k (A^{\otimes m})_{ik} ( A ⊗ m ) ik m m m i i i k k k ( A ⊗ ( m + 1 ) ) i j = ( A ⊗ m ⊗ A ) i j = min k ( ( A ⊗ m ) i k + A k j ) (A^{\otimes(m+1)})_{ij} = (A^{\otimes m} \otimes A)_{ij} = \min_k\big((A^{\otimes m})_{ik} + A_{kj}\big) ( A ⊗ ( m + 1 ) ) ij = ( A ⊗ m ⊗ A ) ij = min k ( ( A ⊗ m ) ik + A k j ) i i i j j j m + 1 m+1 m + 1 m m m k = j k = j k = j A j j = 0 A_{jj} = 0 A j j = 0 m m m i i i k k k k → j k \to j k → j k k k ( A ⊗ ( m + 1 ) ) i j (A^{\otimes(m+1)})_{ij} ( A ⊗ ( m + 1 ) ) ij m + 1 m + 1 m + 1 n − 1 n - 1 n − 1 m = n − 1 m = n - 1 m = n − 1 ( A ⊗ ( n − 1 ) ) i j (A^{\otimes(n-1)})_{ij} ( A ⊗ ( n − 1 ) ) ij
例题: 一次微小的热带矩阵平方
三个顶点 A , B , C A, B, C A , B , C A → B A \to B A → B 4 4 4 B → C B \to C B → C 3 3 3 A → C A \to C A → C 9 9 9 ( min , + ) (\min,+) ( min , + ) A = ( 0 4 9 ∞ 0 3 ∞ ∞ 0 ) A = \begin{pmatrix} 0 & 4 & 9 \\ \infty & 0 & 3 \\ \infty & \infty & 0 \end{pmatrix} A = 0 ∞ ∞ 4 0 ∞ 9 3 0 A , B , C A, B, C A , B , C ( A ⊗ A ) A C (A \otimes A)_{AC} ( A ⊗ A ) A C 9 9 9
解答 根据定义 ( A ⊗ A ) A C = min k ( A A k + A k C ) = min ( A A A + A A C , A A B + A B C , A A C + A C C ) = min ( 0 + 9 , 4 + 3 , 9 + 0 ) = min ( 9 , 7 , 9 ) = 7 (A \otimes A)_{AC} = \min_k(A_{Ak} + A_{kC}) = \min\big(A_{AA}+A_{AC},\ A_{AB}+A_{BC},\ A_{AC}+A_{CC}\big) = \min(0+9,\ 4+3,\ 9+0) = \min(9, 7, 9) = 7 ( A ⊗ A ) A C = min k ( A A k + A k C ) = min ( A AA + A A C , A A B + A B C , A A C + A C C ) = min ( 0 + 9 , 4 + 3 , 9 + 0 ) = min ( 9 , 7 , 9 ) = 7 7 7 7 A → B → C A \to B \to C A → B → C 9 9 9 B B B 2 ≤ n − 1 = 2 2 \le n - 1 = 2 2 ≤ n − 1 = 2
这是目录中的"s–t 流网络"图，这里展示它并非用于其通常的最大流角色，而只是作为一个具体的带权有向图 ——它正是 ( min , + ) (\min,+) ( min , + ) 热带几何正处在一个真正的交汇点上。每个热带多项式 p p p 牛顿多胞形 c o n v ( S ) ⊆ R n \mathrm{conv}(S) \subseteq \mathbb{R}^n conv ( S ) ⊆ R n c α c_\alpha c α 正则剖分 （把每个 α \alpha α c α c_\alpha c α X X X t r o p ( X ) \mathrm{trop}(X) trop ( X ) X X X 本身就是一个小型线性规划问题 ：热带几何与凸、线性优化共享同一个底层的 ( min , + ) (\min, +) ( min , + )
坦诚说明：这是一个通用四面体 ，是图库中现成的三维多胞形之一——它并不是 本页任何具体热带多项式的牛顿多胞形。真正的牛顿多胞形（热带直线、平面二次曲线，或上面图论例子的牛顿多胞形）通常是 R 2 \mathbb{R}^2 R 2 R 3 \mathbb{R}^3 R 3 带有平面、可以被拆分（炸开）的三维凸多胞形 这一一般概念——它与上文所述通向凸几何与离散几何之桥梁背后的对象（由高度函数剖分的牛顿多胞形）属于同一类。 进阶 百年成形:从自动机理论到代数几何 历史注记
min-plus 半环至少被独立发现过两次。在运筹学 领域，罗伯特·弗洛伊德（1962 1962 1962 Algorithm 97: Shortest Path ）与斯蒂芬·沃舍尔（1962 1962 1962 A Theorem on Boolean Matrices ）在伯纳德·罗伊 1959 1959 1959 Floyd–Warshall 的最短路径与传递闭包算法——事后看来，这些都是 ( min , + ) (\min,+) ( min , + ) 理论计算机科学 领域，伊姆雷·西蒙 1978 1978 1978 2000年代 ，格里戈里·米哈尔金、伯恩德·斯特姆费尔斯、戴安·麦克拉根和大卫·斯派尔等数学家才把 min-plus 半环、牛顿多胞形与非阿基米德赋值组装成如今称为热带几何的几何理论——其中米哈尔金的《Enumerative tropical algebraic geometry in R 2 \mathbb{R}^2 R 2 2005 2005 2005 对应定理 ，表明通过一般位置点的复代数曲线的经典计数，可以通过对适当加权的热带曲线计数而精确得到，从而把一个原本只是组合上的趣味现象，变成了计数代数几何真正的工具。
研究 热带几何的现状 研究前沿 截至 2026 年
截至2026年 ，热带几何仍是一个活跃的交汇点，而非已经翻过的一章。有三个方向尤为突出。(1) 计数代数几何。 米哈尔金 2005 2005 2005 计算生物学。 由于带有分支长度的进化树本身就是一种热带/分段线性对象，系统发育树空间（如 Billera–Holmes–Vogtmann 树空间）可以自然地嵌入热带线性空间与热带格拉斯曼流形；这使研究者能够把最大似然与贝叶斯系统发育推断中一些难以处理的组合搜索，替换为热带凸性与热带中位数计算。(3) 非阿基米德几何与 Berkovich 几何。 热带化如今被理解为嵌在与非阿基米德域上簇相关联的更丰富的解析性 Berkovich 空间 内部的组合骨架；目前正在进行的工作（包括 Berkovich 空间上的微分形式、位势论与 Monge–Ampère 方程，以及通过热带/Berkovich 对偶复形研究曲线模空间的最高权上同调）持续在收紧热带组合与非阿基米德解析几何之间的对应词典。未解决的问题包括把对应定理推广到更广的簇类，以及更好地理解究竟哪些热带簇真正能作为经典簇的热带化出现（即可实现性 问题）。
按照本页采用的 min-plus 约定，2 ⊕ 5 2 \oplus 5 2 ⊕ 5
由热带多项式 p p p
还原热带化所得的普通多项式取零的点 p p p p p p R n \mathbb{R}^n R n 该点的所有坐标都等于 0 0 0 热带曲线顶点处的平衡条件 ∑ j w j v j = 0 \sum_j w_j v_j = 0 ∑ j w j v j = 0
它迫使曲线具有笔直且等长的边 正是它使得该复形成为某个热带多项式真正的拐角轨迹，而不是任意的多面体复形 它保证热带曲线是有界的 它只是一种约定，没有任何几何意义
Floyd–Warshall 最短路径算法之所以是热带几何直接的历史先驱，是因为它本质上计算的是……
图的邻接矩阵的特征值 图的权重矩阵的一个 ( min , + ) (\min, +) ( min , + ) 图的权重矩阵的行列式 随机游走的平稳分布