平衡条件

回顾 $p(x) = \min_{\alpha \in S}(c_\alpha + \alpha \cdot x)$ 与其牛顿多边形 $\mathrm{conv}(S)$ 的正则剖分 $\Delta_p$ 相对偶，该剖分通过将每个点 $\alpha \in S$ 提升到高度 $c_\alpha$、再把下凸包投影回平面而得到。$V(p)$ 的每条边 $e$ 都与 $\Delta_p$ 的某条边 $e^*$ 对偶：$e$ 与 $e^*$ 垂直（旋转 $90^\circ$），且其权重 $w$ 等于 $e^*$ 的格长。$V(p)$ 的每个顶点 $v$ 都与 $\Delta_p$ 的某个 $2$ 维胞腔（多边形）$\sigma_v$ 对偶，且与 $v$ 相邻的 $V(p)$ 的边，按相应的循环顺序，恰好对应于 $\sigma_v$ 的边界边。沿闭多边形 $\sigma_v$ 的边界走一圈，其边向量 $e_1^*, \dots, e_k^*$ 之和为零——多边形会回到出发点：$e_1^* + \cdots + e_k^* = 0$。旋转 $90^\circ$ 是一个线性映射 $R$，在固定取向的选择下，每个 $R(e_j^*)$ 都等于 $w_j v_j$（权重 $w_j$ 是 $e_j^*$ 的格长，$v_j$ 是 $e_j^*$ 经旋转并缩放为本原向量后所得）。对 $e_1^* + \cdots + e_k^* = 0$ 两边同时施加线性映射 $R$，得到 $w_1 v_1 + \cdots + w_k v_k = R(0) = 0$，这正是平衡条件。