尺规三等分角问题

给定任意角 $\theta$，仅使用理想圆规和无刻度直尺，在有限步内作出两条射线，将角 $\theta$ 三等分为三个度数为 $\theta/3$ 的相等角。

1837年由皮埃尔·洛朗·万策尔证明其不可能性。万策尔证明了：实数 $\alpha$ 能由单位线段经尺规作图得到的充要条件是 $\alpha$ 位于 $\mathbb{Q}$ 的二次域扩张塔中，这意味着其极小多项式的次数 $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]$ 必须是 $2$ 的幂。对于 $\theta = 60^\circ$，由三倍角恒等式 $\cos(3\alpha) = 4\cos^3(\alpha) - 3\cos(\alpha)$ 及 $\cos(60^\circ) = 1/2$ 可知，$x = 2\cos(20^\circ)$ 满足 $x^3 - 3x - 1 = 0$。由于该三次多项式无有理根，它在 $\mathbb{Q}$ 上不可约，从而 $[\mathbb{Q}(\cos 20^\circ):\mathbb{Q}] = 3 \neq 2^k$，证明了 $60^\circ$ 角无法用尺规三等分。