双层床猜想

设 $G = (V, E)$ 为有限图，其双层床图定义为笛卡尔积 $G \,\square\, K_2$，即由 $G$ 的两个相同副本 $G_0, G_1$ 通过在顶点子集 $v \in T \subseteq V$ 上添加竖直边 $(v, 0)(v, 1)$ 连接而成。在 $G_0$ 和 $G_1$ 上以保留概率 $p \in (0, 1)$ 进行独立边渗流时，该猜想断言：对任意 $u, v \in V$，顶点 $(u, 0)$ 与同层顶点 $(v, 0)$ 连通的概率不小于 $(u, 0)$ 与对层顶点 $(v, 1)$ 连通的概率。

2024年10月，尼基塔·格拉德科夫、伊戈尔·帕克和亚历山大·齐明在劳伦斯·霍洛姆2024年超图渗流反例（`arXiv:2406.01790`）的基础上，构造了一个包含 $7,222$ 个顶点和 $14,442$ 条边的显式平面反例图，从而证伪了双层床猜想（`arXiv:2410.02545`，2025年发表于 PNAS）。他们的证明完全是解析性的，不依赖计算机暴力检验。