爱因斯坦问题（非周期单砖）

是否存在单一的连通闭拓扑圆盘 $T \subset \mathbb{R}^2$（称为“爱因斯坦砖”，源自德语 ein Stein，意为“一块石头”），使得 $T$ 的全等副本可以无重叠、无空隙地铺满整个欧几里得平面 $\mathbb{R}^2$，但所有这样的铺砌都是非周期的（在任何非零平移下都不保持不变）？

由大卫·史密斯、约瑟夫·塞缪尔·迈尔斯、克雷格·S·卡普兰和哈伊姆·古德曼-施特劳斯于2023年解决。2023年3月，他们公布了由拉夫斯 $[3.4.6.4]$ 镶嵌中的八个筝形拼成的13边形多鸢形砖——“帽子”（hat），并通过层级替换元砖（metatiles）及计算机辅助的局部构型穷举分析，证明了它只能以非周期方式铺满平面 $\mathbb{R}^2$（需同时使用未翻转和镜像翻转的副本）。两个月后的2023年5月，同一批作者又提出了“幽灵”（Spectre）砖，这是一种带有微弯或齿状边缘的14边形严格手性非周期单砖：即使规则允许反射，幽灵砖也仅能通过纯平移和旋转进行非周期铺砌。