未解决问题，算术与数论，1640年提出

费马素数的有限性

未解决

人们猜想形如 $F_n = 2^{2^n}+1$ 的费马数中只有有限多个是素数——事实上很可能恰好就是已知的五个费马素数 $F_0=3$ 、 $F_1=5$ 、 $F_2=17$ 、 $F_3=257$ 、 $F_4=65537$ ——尽管费马本人最初相信每个 $F_n$ 都是素数。

提出者, 1640皮埃尔·德·费马

研究前沿截至2026年

截至2026年, $F_5$ 到 $F_{32}$ 均已被证明为合数(通过佩潘检验或找到明确因子),尽管进行了广泛的分布式搜索,也从未找到过超过 $F_4$ 的费马素数。一种标准的启发式方法——把 $F_n$ 视为“素数”的概率与同等大小的随机数相当——预测超过 $F_4$ 的费马素数期望个数约为 $3\times 10^{-10}$ ,基本为零,但这并不是不存在的证明。

已知最佳结果

对所有 $5 \le n \le 32$ , $F_n$ 均已被证明为合数;完整的素因数分解仅在 $n \le 11$ 时已知。
基于将素性视为概率约为 $1/\ln F_n$ 的独立随机事件,超过 $F_4$ 的费马素数的启发式期望个数约为 $3\times 10^{-10}$ 。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
佩潘检验	无论多大,都能对任何指定的单个费马数给出快速、确定性的合数/素数判定。	它只能逐一判定有限多个候选数;无法排除在未检验的更大指数中存在素数的可能。
分布式因子搜索(PrimeGrid、Proth Search)	为巨大的合数费马数找到明确的素因子(包括指数达数百万的情形),从而在无需完全分解的情况下确认它们是合数。	在某个搜索深度内未找到给定 $F_n$ 的因子,既不能证明它是素数也不能证明是合数,而且因子搜索无法覆盖无穷多个未检验的指数。

尚未解决的问题

是否存在任何证明——哪怕是有条件的——表明费马素数只有有限多个?
截至2026年状态尚未确定的最小费马数 $F_{33}$ ,是素数还是合数?

参考文献

Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer (2001). 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry
Wilfrid Keller (2024). Fermat factoring status