希尔伯特第十六问题

截至2026年,希尔伯特第十六问题仍然悬而未决。在其动力系统的第二部分(同时也是斯梅尔第13问题)中,个体有限性问题——即单个多项式向量场 $\dot{x}=P(x,y)$, $\dot{y}=Q(x,y)$ 能否拥有无穷多个极限环——已由尤里·伊利亚申科(1991年)和让·埃卡尔(1992年)给出否定回答:他们通过证明极限环不能在奇异闭轨(polycycle)上聚积,弥补了1981年发现的杜拉克1923年论文中的漏洞。然而,所有 $n$ 次多项式系统极限环个数的上确界——即一致上界 $H(n)$——对任何 $n \ge 2$ 甚至都还不知道是否有限。即便对二次系统($n=2$),尽管史松龄(1980年)已构造出含4个极限环的例子且人们普遍猜想 $H(2)=4$,将证明 $H(2)<\infty$ 归结为检验庞加莱球面上121个退化奇异图有限环性的迪莫捷–鲁萨里–鲁索纲领仍未完成。一般 $n$ 的下界至少按 $H(n) = \Omega(n^2 \log n)$ 增长(克里斯托弗–劳埃德,1995年)。在实代数几何的第一部分中,非奇异平面曲线的同痕构型已完全分类到次数 $n \le 7$,而次数 $8$ 及以上的情形依然开放。