未解决问题，分析学, 几何学，1917年提出

挂谷猜想

部分解决

任意贝西科维奇集（或挂谷集） $K \subseteq \mathbb{R}^n$ ——即在每个方向 $e \in S^{n-1}$ 上都包含一条单位线段的博雷尔集——其豪斯多夫维数和闵可夫斯基维数均等于 $n$ ，即 $\dim_H(K) = \dim_M(K) = n$ 。

研究前沿截至2026年

截至2026年，挂谷猜想在 $n = 2$ 情形下已获证明（戴维斯，1971），而在 $n = 3$ 情形下由王虹与约书亚·扎尔于2025年2月发布的127页里程碑式预印本（`arXiv:2502.17655`）解决，证明了 $\mathbb{R}^3$ 中任意挂谷集均满足 $\dim_H(K) = \dim_M(K) = 3$ 。王虹与扎尔将他们此前对粘性（sticky）挂谷猜想的证明（`arXiv:2210.09581`）与凸集内部 $\delta$ -管并集的多尺度体积估计相结合。对于所有 $n \ge 4$ 的高维情形，豪斯多夫维数和闵可夫斯基维数下的挂谷猜想仍然公开，更强的 $L^3(\mathbb{R}^3)$ 及更高维挂谷极大函数猜想也尚未解决。

已知最佳结果

在 $\mathbb{R}^3$ 中，每个挂谷集的豪斯多夫维数和闵可夫斯基维数均为 $3$ （王虹、约书亚·扎尔，2025年预印本 `arXiv:2502.17655`）。
在 $\mathbb{R}^4$ 中，平面刷（planebrush）与多项式分割方法给出 $\dim_H(K) \ge 3.059$ （卡茨与扎尔，2021）。
在一般维数 $\mathbb{R}^n$ 中，卡茨与陶哲轩（2002）的算术挂谷化归给出 $\dim_H(K) \ge (2 - \sqrt{2})(n - 4) + 3$ 。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
多尺度管堆积与粘性挂谷分析	通过将一般管族配置化归为粘性/凸颗粒情形并建立精确体积估计，排除了 $\mathbb{R}^3$ 中假想的低维 $\delta$ -管配置（王虹–扎尔，2025）。	在 $n \ge 4$ 的 $\mathbb{R}^n$ 中，管族可以集中在维数为 $2, \dots, n-2$ 的中间维代数子簇内，从而产生复杂得多的关联层级。
多项式方法与解耦理论（德维尔、古斯、布尔甘–德梅特）	完全解决了有限域 $\mathbb{F}_q^n$ 上的挂谷问题（德维尔，2009），并证明了 $\mathbb{R}^n$ 中精确的 $\ell^2$ 解耦不等式与多线性挂谷估计。	在欧氏空间中， $\delta$ -管具有正厚度 $\delta > 0$ ，且可在半代数邻域内以小角度相交，导致多项式零点消失论证损失次数效率。

尚未解决的问题

当 $n \ge 4$ 时， $\mathbb{R}^n$ 中的每个挂谷集是否都具有等于 $n$ 的豪斯多夫维数和闵可夫斯基维数？
王虹–扎尔的三维挂谷定理能否进一步推广为完整的 $L^3(\mathbb{R}^3)$ 挂谷极大函数界，进而完全解决三维傅里叶限制猜想？

证明

参考文献

Hong Wang, Joshua Zahl (2025). Volume estimates for unions of convex sets, and the Kakeya set conjecture in three dimensions · arXiv:2502.17655 [预印本,未经同行评审]
Thomas Wolff (1999). An algorithmic approach to the Kakeya problem · DOI:10.1090/ulect/029/10
Zeev Dvir (2009). On the size of Kakeya sets in finite fields · DOI:10.1090/S0894-0347-08-00607-3