解法：三维情形:$\mathbb{R}^3$ 中每个挂谷集的维数均为3(王虹–扎尔,2025年)

离散化:设 $\mathbb{T}$ 为 $\mathbb{R}^3$ 中沿 $\delta$-分离方向排列、尺寸为 $\delta\times\delta\times 1$ 的约 $\delta^{-2}$ 根管。记 $K(d)$ 为“其并集体积总是 $\gtrsim \delta^{3-d}$”这一陈述。单根管平凡地给出 $K(1)$;科尔多瓦20世纪70年代的经典 $L^2$ 论证(与平面挂谷定理背后思想相同)给出 $K(2)$;沃尔夫1995年的“发刷”论证给出 $K(2.5)$,此后尽管布尔甘、卡茨、陶哲轩等人做了大量深入工作,进展仍停滞了三十年。王虹与扎尔的新预印本证明了对任意 $\varepsilon>0$ 均有 $K(3-\varepsilon)$,这正是“$\mathbb{R}^3$ 中每个挂谷集的豪斯多夫维数与闵可夫斯基维数均为3”这一陈述。