凯尔瓦尔不变量1问题

确定所有维数 $n = 4k + 2$，使得存在光滑闭稳定标架流形 $M^n$，其凯尔瓦尔不变量 $\Phi(M^n) \in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$（由稳定标架诱导的中间维同调 $H_{2k+1}(M^n; \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ 上相交形式的二次加细的 Arf 不变量）等于 $1$。

1969年，威廉·布劳德证明：凯尔瓦尔不变量为 $1$ 的光滑闭标架流形仅可能存在于维数 $n = 2^{j+1} - 2$，且当且仅当 $\bmod\,2$ 亚当斯谱序列 $E_2$ 页中的类 $h_j^2$ 存活并代表球面稳定同伦群 $\pi_{2^{j+1}-2}^S$ 中的元素 $\theta_j$。维数 $2, 6, 14, 30$ 和 $62$（$1 \le j \le 5$）中的构造于1984年前完成（最终由迈克尔·巴拉特、约翰·琼斯和马克·马霍瓦尔德完成）。2009年（2016年发表于 Annals of Mathematics），迈克尔·A·希尔、迈克尔·J·霍普金斯与道格拉斯·C·拉文内尔利用等变稳定同伦论和 $C_8$ 切片谱序列证明了对所有 $j \ge 7$（即维数 $254$ 及以上）$\theta_j$ 均不存在，仅留下维数 $126$（$j = 6$）悬而未决。2024年12月，林伟南、王国祯与徐宙利发布预印本（`arXiv:2412.10879`，尚未经同行评审），借助计算机辅助的亚当斯谱序列计算证明了 $h_6^2$ 是永久循环，从而确立了维数 $126$ 中的存在性。