MathLabs

未解决问题，算术与数论, 分析学，1859年提出

黎曼猜想

未解决千禧年希尔伯特 #8

黎曼 zeta 函数 ζ(s)=∑n=1∞n−s\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}(解析延拓到 C∖{1}\mathbb{C}\setminus\{1\} 上)的所有非平凡零点的实部都恰好等于 12\tfrac{1}{2}。

提出者, 1859波恩哈德·黎曼
研究前沿 截至2026年

截至2026年,黎曼猜想仍然悬而未决。目前最强的无条件零点密度估计来自古斯与梅纳德 2024 年对英厄姆 1940 年界限的改进,给出 N(σ,T)≤T30(1−σ)13+o(1)N(\sigma,T) \le T^{\frac{30(1-\sigma)}{13}+o(1)}(arXiv:2405.20552);该论文即将发表于《Annals of Mathematics》。这是八十多年来对该指数的首次结构性改进,它使短区间素数分布的结果更加精确。目前已知无条件地有超过 5/12 的非平凡零点位于临界线上,且有超过 40.75% 的零点为临界线上的单零点(Pratt–Robles–Zaharescu–Zeindler,2020年)。在数值上,前 101310^{13} 个零点(古尔东,2004年)以及高度 102410^{24} 附近大量额外区块的零点都落在该直线上,但有限次计算永远无法确定一个无穷命题。

已知最佳结果

  • 古斯–梅纳德(2024年)的零点密度界 N(σ,T)≤T30(1−σ)13+o(1)N(\sigma,T) \le T^{\frac{30(1-\sigma)}{13}+o(1)},是对英厄姆 1940 年指数 80 多年来首次结构性改进(arXiv:2405.20552)。
  • 已知超过 5/12 的非平凡零点位于临界线上,且超过 40.75% 为临界线上的单零点(Pratt–Robles–Zaharescu–Zeindler,2020年)。
  • 前 101310^{13} 个零点以及高度 102410^{24} 附近大量零点块,已通过数值方法验证位于临界线上(古尔东,2004年)。

使用的方法及其局限

方法取得的结果局限所在
狄利克雷多项式的零点密度估计限制可能偏离临界线的零点数量,从而给出关于短区间内素数的无条件结果(古斯–梅纳德 2024 年将指数推进到 30/13)。距离完全排除偏离直线的零点还相差甚远,只能说明这类零点很稀少。
莱文森方法(缓和矩)证明有正比例的零点位于临界线上(目前超过 5/12,其中单零点超过 40.75%,Pratt–Robles–Zaharescu–Zeindler 2020年)。无法达到证明所需的完整 100%,且改进速度已明显放缓。
大规模数值验证确认前 101310^{13} 个零点以及高度 102410^{24} 附近的抽查零点都恰好位于该直线上(古尔东,2004年)。只检验有限多个零点,永远无法证明关于无穷多个零点的命题。

尚未解决的问题

  • 零点密度指数能否被压低到足以直接推出黎曼猜想,还是需要一种根本不同的方法?
  • 古斯–梅纳德估计是否给出了素数定理中最优的误差项,还是短区间素数的指数 x17/30x^{17/30} 还能进一步降低?

参考文献

  1. Bernhard Riemann (1859). Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe · DOI:10.1017/CBO9781139568050.008
  2. Larry Guth, James Maynard (2024). New large value estimates for Dirichlet polynomials · arXiv:2405.20552 [预印本,未经同行评审]
  3. Kyle Pratt, Nicolas Robles, Alexandru Zaharescu, Dirk Zeindler (2020). More than five-twelfths of the zeros of ζ are on the critical line · arXiv:1802.10521
  4. Xavier Gourdon (2004). The 101310^{13} first zeros of the Riemann zeta function, and zeros computation at very large height