定理已证明

算术–几何平均不等式

命题陈述

对非负实数 $a_1,\dots,a_n$ ,有 $\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$ ,当且仅当 $a_1=a_2=\cdots=a_n$ 时取等号。

为什么成立?

在周长固定的所有矩形中,正方形的面积最大——把边长拉开使它们不相等,只会让乘积变小,而和(周长)保持不变。AM–GM 不等式正是这一现象在 $n$ 维的推广:在和固定的情况下,当所有数相等时乘积最大,数之间的任何不均衡都只会使乘积变小。

证明思路

柯西的前推-后退归纳法先通过反复应用两变量情形 $\tfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$ (它等价于 $(\sqrt a-\sqrt b)^2\ge 0$ )证明 $n=2^k$ 时成立,再通过把 $n$ 个数补上它们自身平均值的副本、对 $2^k$ 个变量的不等式加以应用,从 $n=2^k$ 递降到所有更小的 $n$ 。

证明者

1821 年证明奥古斯丁-路易·柯西

用到此定理的主题

不等式

参考文献

G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya (1934). Inequalities