定理已证明

柯西–施瓦茨不等式

命题陈述

对实(或复)向量 $u=(u_1,\dots,u_n)$ 与 $v=(v_1,\dots,v_n)$ ,有 $\left|\sum_{i=1}^n u_i\overline{v_i}\right|^2 \le \left(\sum_{i=1}^n |u_i|^2\right)\left(\sum_{i=1}^n |v_i|^2\right)$ ,当且仅当 $u$ 与 $v$ 线性相关时取等号。

为什么成立?

这个不等式其实是关于角度的一种伪装表述: $\sum u_iv_i$ 就是点积 $\lVert u\rVert\lVert v\rVert\cos\theta$ ,而 $\cos\theta$ 的绝对值永远不超过 $1$ 。因此该不等式只是说,把一个向量投影到另一个向量上,永远不会比向量本身所允许的更长——当两个向量方向相同(或相反)时,投影达到最大。

证明思路

对实向量，考察二次式 $f(t)=\sum_i (tu_i - v_i)^2 = t^2\sum u_i^2 - 2t\sum u_iv_i + \sum v_i^2 \ge 0$ 对所有 $t \in \mathbb{R}$ 成立：其判別式必须 $\le 0$ ，整理后可直接得到该不等式。一般地（对实向量与复向量均适用），由拉格朗日恒等式 $\left(\sum_i |u_i|^2\right)\left(\sum_i |v_i|^2\right) - \left|\sum_i u_i\overline{v_i}\right|^2 = \sum_{i<j} |u_iv_j - u_jv_i|^2 \ge 0$ 可立即推出该不等式，并表明等号成立当且仅当对所有 $i,j$ 有 $u_iv_j = u_jv_i$ ，即 $u$ 与 $v$ 线性相关。

证明者

1821 年证明奥古斯丁-路易·柯西

用到此定理的主题

不等式

参考文献

G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya (1934). Inequalities