射影变换下交比的不变性

把四个共线点表示为位于同一个二维子空间中的齐次坐标向量 $A, B, C, D \in \mathbb{R}^3$ ,并把 $\varphi$ 表示为可逆的 $3\times 3$ 矩阵 $M$ ,使得对向量为 $P$ 的点施加 $\varphi$ 得到齐次坐标 $MP$ 。

因为 $A, B, C, D$ 共线,可以选取代表元使得 $C = \lambda_1 A + \mu_1 B$ 且 $D = \lambda_2 A + \mu_2 B$ ,其中 $\lambda_1, \mu_1, \lambda_2, \mu_2$ 为标量;交比 $(A,B;C,D)$ 完全由这四个标量定义,具体为 $\dfrac{\mu_1/\lambda_1}{\mu_2/\lambda_2}$ 。

施加线性映射 $M$ 得到 $MC = \lambda_1(MA) + \mu_1(MB)$ 与 $MD = \lambda_2(MA) + \mu_2(MB)$ ,因为矩阵乘法对线性组合满足分配律;因此正是同样的标量 $\lambda_1, \mu_1, \lambda_2, \mu_2$ 把 $\varphi(C)$ 与 $\varphi(D)$ 表示为 $\varphi(A)$ 与 $\varphi(B)$ 的组合。

由于交比只依赖于这些标量,而它们在 $M$ 下保持不变,我们得出 $(\varphi(A),\varphi(B);\varphi(C),\varphi(D)) = (A,B;C,D)$ ,这正是所要证明的不变性。