几何学

射影几何

研究无穷远点与透视的几何学,平行线在地平线上相交。

直观平行线在哪里相交?

站在两条又长又直的铁轨之间向远处望去:两条实际上永不相交的铁轨,看起来却在地平线上的一点汇聚。画家正是利用这一技巧,把建筑物的平行边画得在一个消失点处相交。射影几何认真对待这种视觉现象:它为每个方向添加一个"无穷远点",使得每一对直线——即使是平行线——都恰好相交于一点。这一个额外的想法统一了透视绘画、相机几何,以及一些关于点、线与圆锥曲线最古老的定理。

法诺射影平面

\mathrm{PG}(2,2)

:共

7

个点与

7

条线(内切圆为第七条线),每条线上恰有

3

点,每点恰在

3

条线上。

大学射影平面上的齐次坐标

定义: 实射影平面

实射影平面 $\mathbb{RP}^2$ 上的一个点是非零三元组 $(X, Y, Z)$ 的等价类,记作 $[X:Y:Z]$ ,其中两个三元组表示同一点,当且仅当其中一个是另一个的非零数乘。

[X : Y : Z] \sim [\lambda X : \lambda Y : \lambda Z], \qquad \lambda \neq 0

普通的(仿射)平面通过把 $(x, y)$ 映为 $[x : y : 1]$ 而嵌入 $\mathbb{RP}^2$ 。满足 $Z = 0$ 的点不对应任何普通点;它们构成无穷远直线,对应于方向——每一族平行线对应一个无穷远点。

(x, y) \mapsto [x : y : 1]

定义: 点线对偶

$\mathbb{RP}^2$ 中的一条直线是满足线性方程 $aX + bY + cZ = 0$ (系数 $[a:b:c]$ 固定,同样只在相差一个非零倍数的意义下确定)的点 $[X:Y:Z]$ 的集合。由于点 $[X:Y:Z]$ 落在直线 $[a:b:c]$ 上当且仅当 $aX+bY+cZ=0$ ,而这个方程对两个三元组完全对称,所以关于点与直线的每一条真命题都有一条对偶命题,只需把"点"与"直线"、"落在...上"与"经过"互换即可得到。

aX + bY + cZ = 0

射影平面中的点线对偶
关于点的命题	关于直线的对偶命题
两个不同的点确定唯一一条直线	两条不同的直线确定唯一一个点(它们的交点)
三点共线	三线共点
点 $[X:Y:Z]$ 落在直线 $[a:b:c]$ 上	直线 $[a:b:c]$ 经过点 $[X:Y:Z]$

进阶交比与经典构形定理

定义: 交比

对于四个共线的不同点 $A, B, C, D$ ,交比 $(A,B;C,D)$ 是 $C$ 与 $D$ 分割线段 $AB$ 所得的两个带符号分割比之比。它是射影几何的基本数值不变量:与距离或普通比值不同,它在透视绘图下保持不变。

(A,B;C,D) = \dfrac{\overline{CA}}{\overline{CB}} \Big/ \dfrac{\overline{DA}}{\overline{DB}}

进阶关键定理

定理: 射影变换下交比的不变性

如果 $\mathbb{RP}^2$ 的射影变换 $\varphi$ 将四个共线点 $A, B, C, D$ 映为像直线上的 $A', B', C', D'$ ,那么交比保持一致: $(A,B;C,D) = (A',B';C',D')$ 。

为什么成立?

射影变换由齐次坐标上的可逆线性映射表示,而交比仅由把两个点表示成另外两个点的线性组合的系数构成;由于线性映射精确保持线性组合,它不能改变这些系数,因此交比得以保持。

证明

把四个共线点表示为位于同一个二维子空间中的齐次坐标向量 $A, B, C, D \in \mathbb{R}^3$ ,并把 $\varphi$ 表示为可逆的 $3\times 3$ 矩阵 $M$ ,使得对向量为 $P$ 的点施加 $\varphi$ 得到齐次坐标 $MP$ 。

因为 $A, B, C, D$ 共线,可以选取代表元使得 $C = \lambda_1 A + \mu_1 B$ 且 $D = \lambda_2 A + \mu_2 B$ ,其中 $\lambda_1, \mu_1, \lambda_2, \mu_2$ 为标量;交比 $(A,B;C,D)$ 完全由这四个标量定义,具体为 $\dfrac{\mu_1/\lambda_1}{\mu_2/\lambda_2}$ 。

施加线性映射 $M$ 得到 $MC = \lambda_1(MA) + \mu_1(MB)$ 与 $MD = \lambda_2(MA) + \mu_2(MB)$ ,因为矩阵乘法对线性组合满足分配律;因此正是同样的标量 $\lambda_1, \mu_1, \lambda_2, \mu_2$ 把 $\varphi(C)$ 与 $\varphi(D)$ 表示为 $\varphi(A)$ 与 $\varphi(B)$ 的组合。

由于交比只依赖于这些标量,而它们在 $M$ 下保持不变,我们得出 $(\varphi(A),\varphi(B);\varphi(C),\varphi(D)) = (A,B;C,D)$ ,这正是所要证明的不变性。

定理: 德萨格定理

设两个三角形 $ABC$ 与 $A'B'C'$ 满足直线 $AA'$ 、 $BB'$ 、 $CC'$ 相交于同一点 $O$ (两三角形关于一点透视)。那么三点 $P = BC \cap B'C'$ 、 $Q = CA \cap C'A'$ 、 $R = AB \cap A'B'$ 共线(两三角形关于一条直线透视)。

为什么成立?

如果只在平面内讨论,由于牵涉许多不同的直线,这个命题看起来很微妙。把图形提升到三维空间后,每一个关联关系都变成了两个平面的交线,而两个不同的平面总是交于一条直线,这就迫使这三个点落在同一条直线上。

证明

把两个三角形看作位于 $\mathbb{R}^3$ 中平面 $\pi$ 内,并在 $\pi$ 上方构造一个空间构形:一个不在 $\pi$ 内的点 $\widehat{O}$ ,以及位于空间中两个不同平面内的三角形 $\widehat{A}\widehat{B}\widehat{C}$ 与 $\widehat{A'}\widehat{B'}\widehat{C'}$ ,使得直线 $\widehat{A}\widehat{A'}$ 、 $\widehat{B}\widehat{B'}$ 、 $\widehat{C}\widehat{C'}$ 都经过 $\widehat{O}$ ,并且把这个空间图形投影回 $\pi$ 后能还原出关于 $O$ 透视的原始三角形 $ABC$ 与 $A'B'C'$ 。

在这个空间图形中,直线 $\widehat{B}\widehat{C}$ 与直线 $\widehat{B'}\widehat{C'}$ 都位于由 $\widehat{O}, \widehat{B}, \widehat{C}$ 张成的平面内(因为 $\widehat{B'}$ 与 $\widehat{C'}$ 分别位于经过 $\widehat{O}$ 与 $\widehat{B}, \widehat{C}$ 的直线上),所以这两条直线相交于一点 $\widehat{P}$ ;类似地, $\widehat{Q}$ 与 $\widehat{R}$ 也作为边 $CA$ 与 $AB$ 对应的交点存在于空间中。

三点 $\widehat{P}, \widehat{Q}, \widehat{R}$ 都位于包含三角形 $\widehat{A}\widehat{B}\widehat{C}$ 的平面内(因为每个点都由其一对边构造而成),同时也位于包含 $\widehat{A'}\widehat{B'}\widehat{C'}$ 的平面内。因此 $\widehat{P}, \widehat{Q}, \widehat{R}$ 位于这两个平面的交线上,因为空间中任意两个不同的平面恰好交于一条直线。

把这个空间构形投影回平面 $\pi$ ,会把 $\widehat{P}, \widehat{Q}, \widehat{R}$ 变为 $P, Q, R$ 并保持共线性,因为从一点出发的投影把任意直线映为直线。因此 $P, Q, R$ 在 $\pi$ 中共线,这正是德萨格定理。

大学实际应用与典型例题

射影几何是计算机视觉与摄影测量学(利用射影相机模型与齐次坐标从二维照片中恢复三维场景结构)、计算机图形学(任何三维渲染流水线中的透视投影矩阵都是一种射影变换)以及编码理论(有限射影平面给出用于数据存储与网络传输的射影里德-穆勒纠错码)的基础。

例题: 求消失点

用针孔相机拍摄两条平行的铁轨。在照片中,一条铁轨经过像素点 $(0, 390)$ 和 $(300, 420)$ ,另一条铁轨经过像素点 $(0, 480)$ 和 $(300, 465)$ 。用齐次坐标把每条铁轨建模为一条射影直线,并求这两条像直线相交的消失点。

解答

把每个像素写成齐次点 $[x:y:1]$ 。直线上两点的叉积给出该直线的齐次坐标 $[a:b:c]$ ;对第一条铁轨, $[0:390:1]\times[300:420:1] = [-30:300:-117000] \sim [1:-10:3900]$ ,因此第一条铁轨是直线 $X - 10Y + 3900 = 0$ 。

对第二条铁轨的点 $[0:480:1]$ 与 $[300:465:1]$ 重复同样的叉积运算,得到 $[15:300:-144000] \sim [1:20:-9600]$ ,即直线 $X + 20Y - 9600 = 0$ 。

消失点就是这两条直线的交点:两式相减消去 $X$ ,得到 $30Y - 13500 = 0$ ,故 $Y = 450$ ;代回可得 $X = 10(450) - 3900 = 600$ 。

因此消失点位于像素 $(600, 450)$ :这正是现实中永不相交的两条铁轨在照片中看似汇聚的点,恰如射影几何所预言的——平行线在无穷远直线上相交,并被相机的透视映射为图像中的一个有限点。

例题: 数轴上的交比

在数轴上,点 $A, B, C, D$ 的带符号坐标分别为 $0, 1, 3, 6$ 。计算交比 $(A,B;C,D)$ 。

解答

利用定义 $(A,B;C,D)=\dfrac{\overline{CA}}{\overline{CB}} \Big/ \dfrac{\overline{DA}}{\overline{DB}}$ ,先计算带符号长度: $\overline{CA} = 0-3=-3$ , $\overline{CB}=1-3=-2$ , $\overline{DA}=0-6=-6$ , $\overline{DB}=1-6=-5$ 。

构造两个比: $\dfrac{\overline{CA}}{\overline{CB}} = \dfrac{-3}{-2} = \dfrac{3}{2}$ 与 $\dfrac{\overline{DA}}{\overline{DB}} = \dfrac{-6}{-5} = \dfrac{6}{5}$ 。

用第一个比除以第二个比: $(A,B;C,D) = \dfrac{3/2}{6/5} = \dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{5}{6} = \dfrac{15}{12} = \dfrac{5}{4}$ 。

所以 $(A,B;C,D) = \dfrac{5}{4}$ ;由于交比是射影不变量,根据上面证明的不变性定理,对 $A, B, C, D$ 施加任何射影变换所得到的四个新点,其交比仍然恰好是 $\dfrac{5}{4}$ 。

下列哪个齐次三元组表示与 $[2 : -4 : 6]$ 相同的射影点?

射影平面中一条直线的齐次方程为 $2X - Y + 4Z = 0$ 。下列哪个仿射点(取 $Z=1$ )落在这条直线上?

在实射影平面中,"三点共线"的对偶命题是什么?

在摄影测量中,现实中平行的建筑物两条边在照片里表现为两条线段,延长后会交于同一个像素点。这一交点用哪个射影几何概念来解释?

参考文献

H. S. M. Coxeter (1974). Projective Geometry
Jürgen Richter-Gebert (2011). Perspectives on Projective Geometry: A Guided Tour Through Real and Complex Geometry
Wikipedia contributors (2026). Pascal's theorem — Wikipedia
Wikipedia contributors (2026). Lam's problem — Wikipedia