超度量不等式（强三角不等式）

记 $x = p^{v_p(x)} u$，$y = p^{v_p(y)} w$，其中 $u, w$ 是 $\mathbb{Z}_p$ 中的单位元（即 $|u|_p = |w|_p = 1$），不失一般性设 $v_p(x) \le v_p(y)$，于是 $|x|_p \ge |y|_p$。提出较小的幂：$x + y = p^{v_p(x)}(u + p^{v_p(y)-v_p(x)} w)$。括号中的项是 $\mathbb{Z}_p$ 中元素之和，因而本身就是 $\mathbb{Z}_p$ 的元素，其 $p$进绝对值 $\le 1$；于是 $|x+y|_p \le p^{-v_p(x)} = |x|_p = \max(|x|_p, |y|_p)$，不等式得证。若进一步 $v_p(x) < v_p(y)$ 严格成立（即 $|x|_p \ne |y|_p$），则 $p^{v_p(y)-v_p(x)} w \equiv 0 \pmod p$，而 $u$ 是单位元，故 $u + p^{v_p(y)-v_p(x)} w \equiv u \not\equiv 0 \pmod p$ 仍是单位元；因此恰好 $|x+y|_p = p^{-v_p(x)}$，等号成立。