算术与数论

p进数与p进算术

素数 $p$ 为 $\mathbb{Q}$ 提供了第二种非阿基米德式的距离概念：当两个数之差能被 $p$ 的高次幂整除时，它们就变得接近。用这种度量完备化 $\mathbb{Q}$ ，便得到域 $\mathbb{Q}_p$ ，亨泽尔引理、奥斯特洛夫斯基定理与现代算术几何都生活在这里。

直观用整除性重新定义“接近”

通常，两个数接近意味着它们的差很小。现在固定一个素数 $p$ ，改为规定：当两个整数之差能被 ** $p$ 的高次幂 整除时，它们就是接近的。这并非比喻，而是一种真正严格的距离概念，只是依照完全不同的规则构造而成。关键工具是 $p$ 进赋值** $v_p(n)$ ，即整除整数 $n$ 的 $p$ 的最高幂次的指数（规定 $v_p(0) = \infty$ ）。 $v_p(n)$ 越大， $n$ 在 $p$ 进意义下就越“小”——这与 $n$ 在数轴上的直观印象恰恰相反。

用 $p = 5$ 做一个具体检验：考察整数 $2$ 、 $7$ 、 $12$ 与 $127$ 。我们有 $7 - 2 = 5$ ，故 $v_5(7-2) = 1$ ；又 $12 - 2 = 10 = 2 \cdot 5$ ，同样 $v_5(12-2) = 1$ 。但 $127 - 2 = 125 = 5^3$ ，故 $v_5(127-2) = 3$ 。在 $5$ 进意义下， $127$ 比 $7$ 或 $12$ 都远更接近 $2$ ，尽管在普通数轴上 $127$ 显得极其庞大，而 $7$ 、 $12$ 看起来才是邻近的。决定接近程度的是能否被 $5^3$ 整除，而不是通常的大小。

这里的钟面是

\mathbb{Z}/9\mathbb{Z} = \mathbb{Z}/3^2\mathbb{Z}

，它是塔

\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}, \mathbb{Z}/3^2\mathbb{Z}, \mathbb{Z}/3^3\mathbb{Z}, \dots

中的一个有限阶段，其极限构成

3

进整数

\mathbb{Z}_3

。两个整数落在同一点上，当且仅当它们模

9

同余——也就是说它们的

3

进距离不超过

3^{-2}

。模更高次幂

p

同余，总意味着两个数在

p

进度量下更加接近。

大学把 $\mathbb{Z}_p$ 构造为有限环的极限

赋值 $v_p$ 通过令 $x \ne 0$ 时 $|x|_p = p^{-v_p(x)}$ 、 $|0|_p = 0$ ，就变成了 $\mathbb{Q}$ 上一个真正的绝对值：写成 $x = p^{v_p(x)} \frac{a}{b}$ （其中 $p \nmid a$ ， $p \nmid b$ ）恰好分离出 $x$ 被 $p$ 整除的程度。它像普通绝对值一样具有乘性， $|xy|_p = |x|_p |y|_p$ ，因此 $d_p(x, y) = |x-y|_p$ 是 $\mathbb{Q}$ 上一个真正的度量——是熟悉的欧几里得度量的一个对手。

|x|_p = p^{-v_p(x)}

构造 $\mathbb{Q}$ 关于 $|\cdot|_p$ 的完备化 $\mathbb{Q}_p$ 有两条等价的路径：(1) 就像通常度量下柯西序列由 $\mathbb{Q}$ 构造出 $\mathbb{R}$ 那样，把 $\mathbb{Q}$ 关于 $d_p$ 形式地完备化；或者 (2) 先把** $p$ 进整数**构造为有限环的逆极限， $\mathbb{Z}_p = \varprojlim_n \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ ——即模 $p, p^2, p^3, \dots$ 下相容的一列余数——再取其分式域得到 $\mathbb{Q}_p$ 。两条路径给出的是同一个域。

\mathbb{Z}_p = \varprojlim_n \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}

定义: $p$ 进整数与 $p$ 进数

$x \in \mathbb{Q}_p$ 中每个非零元都有唯一的** $p$ 进展开** $x = \sum_{i=k}^{\infty} a_i p^i$ ，其中 $k = v_p(x) \in \mathbb{Z}$ ，各位数字 $0 \le a_i \le p-1$ ，且 $a_k \ne 0$ ；级数收敛是因为 $|a_i p^i|_p = p^{-i} \to 0$ 。一个元素属于 $\mathbb{Z}_p$ 当且仅当 $k \ge 0$ ，也就是说它是一个不含 $p$ 的负次幂的普通（可能无限） $p$ 进制展开——这是小数点前位数有限、点后可以无限延伸的十进制小数的 $p$ 进类比，区别在于无限延伸的尾巴指向 $p$ 的更高次幂，而不是更低次幂。

x = \sum_{i=k}^{\infty} a_i p^i,\quad 0 \le a_i \le p-1,\ k = v_p(x)

从拓扑上看， $\mathbb{Z}_p$ （所有数字序列 $a_0, a_1, a_2, \dots$ ）是紧的：它同胚于有限离散集合的乘积 $\prod_{i \ge 0} \{0, \dots, p-1\}$ ，所以吉洪诺夫定理可以直接应用。于是 $\mathbb{Q}_p = \bigcup_{k} p^{-k} \mathbb{Z}_p$ 是局部紧的（每一点都有一个紧邻域，即 $\mathbb{Z}_p$ 的某个平移），正如 $\mathbb{R}$ 局部紧但不紧一样。正是这种局部紧性使得 $\mathbb{Q}_p$ 能够携带哈尔测度，并支撑真正的 $p$ 进分析与积分。

定理: 超度量不等式（强三角不等式）

对任意 $x, y \in \mathbb{Q}_p$ ，都有 $|x+y|_p \le \max(|x|_p, |y|_p)$ ，并且只要 $|x|_p \ne |y|_p$ ，等号 $|x+y|_p = \max(|x|_p, |y|_p)$ 就成立。

为什么成立?

这正是把 $p$ 进世界与普通几何区分开来的决定性特征：它迫使每个三角形都是等腰三角形。若 $d_p(x,z) = |x-z|_p$ 、 $d_p(x,y)$ 、 $d_p(y,z)$ 是三点两两之间的三个距离，那么其中最大的两个必然相等。不存在某条边严格长于另外两条边的 $p$ 进三角形——这幅图景在 $\mathbb{R}$ 上的普通绝对值中完全没有对应物。

证明

记 $x = p^{v_p(x)} u$ ， $y = p^{v_p(y)} w$ ，其中 $u, w$ 是 $\mathbb{Z}_p$ 中的单位元（即 $|u|_p = |w|_p = 1$ ），不失一般性设 $v_p(x) \le v_p(y)$ ，于是 $|x|_p \ge |y|_p$ 。提出较小的幂： $x + y = p^{v_p(x)}(u + p^{v_p(y)-v_p(x)} w)$ 。括号中的项是 $\mathbb{Z}_p$ 中元素之和，因而本身就是 $\mathbb{Z}_p$ 的元素，其 $p$ 进绝对值 $\le 1$ ；于是 $|x+y|_p \le p^{-v_p(x)} = |x|_p = \max(|x|_p, |y|_p)$ ，不等式得证。若进一步 $v_p(x) < v_p(y)$ 严格成立（即 $|x|_p \ne |y|_p$ ），则 $p^{v_p(y)-v_p(x)} w \equiv 0 \pmod p$ ，而 $u$ 是单位元，故 $u + p^{v_p(y)-v_p(x)} w \equiv u \not\equiv 0 \pmod p$ 仍是单位元；因此恰好 $|x+y|_p = p^{-v_p(x)}$ ，等号成立。

|x+y|_p \le \max(|x|_p, |y|_p),\quad \text{equality if } |x|_p \ne |y|_p

例题: 用 $p = 3$ 验证等腰三角形性质

取 $x = 54$ 、 $y = 24$ ， $p = 3$ 。直接计算 $|54|_3$ 与 $|24|_3$ ，然后针对 $54 + 24 = 78$ 检验超度量不等式的预测。

解答

分解： $54 = 2 \cdot 3^3$ ，故 $v_3(54) = 3$ ， $|54|_3 = 3^{-3} = 1/27$ 。又 $24 = 2^3 \cdot 3$ ，故 $v_3(24) = 1$ ， $|24|_3 = 3^{-1} = 1/3$ 。由于 $|54|_3 = 1/27 \ne 1/3 = |24|_3$ ，适用定理的等号情形，预测 $|78|_3 = \max(1/27, 1/3) = 1/3$ 。直接验证： $78 = 2 \cdot 3 \cdot 13$ ，故 $v_3(78) = 1$ ， $|78|_3 = 1/3$ ——与预测完全一致。以 $0$ 、 $54$ 、 $78$ 为顶点的三角形（各边在 $3$ 进距离下为 $54$ 、 $24$ 、 $78$ ）拥有 $1/27$ 与 $1/3$ 这两条边……更准确地说，其两条最大距离都等于 $1/3$ ，印证了等腰的形状。

定理: 亨泽尔引理

设 $f(X) \in \mathbb{Z}_p[X]$ ，并设 $a \in \mathbb{Z}_p$ 满足 $f(a) \equiv 0 \pmod p$ 且 $f'(a) \not\equiv 0 \pmod p$ （即模 $p$ 下的单根）。那么存在唯一的 $\alpha \in \mathbb{Z}_p$ ，使得精确地 $f(\alpha) = 0$ 且 $\alpha \equiv a \pmod p$ 。

为什么成立?

这是牛顿法的 $p$ 进表亲，区别在于它是精确收敛而非仅仅近似收敛：因为 $\mathbb{Q}_p$ 是完备的且 $|\cdot|_p$ 是超度量的，牛顿迭代 $a_{n+1} = a_n - f(a_n)/f'(a_n)$ 不仅逐渐逼近一个根，而是逐位稳定下来，并在无穷多次修正之后精确落在某个根上。模 $p$ 下的单根被保证能唯一地“提升”为 $\mathbb{Z}_p$ 中真正的根，从而把一个有限的、可验证的同余条件变成了一个精确 $p$ 进数的存在性证明。

证明

将 $\alpha$ 构造为逐次逼近 $a = a_0, a_1, a_2, \dots \in \mathbb{Z}_p$ 的极限，其中 $a_{n+1} = a_n - f(a_n)/f'(a_n)$ ，用归纳法证明对一切 $n$ 都有 $v_p(f(a_n)) \ge n+1$ 及 $v_p(f'(a_n)) = v_p(f'(a)) = 0$ （因为每一步都有 $a_{n+1} \equiv a_n \pmod p$ ，导数始终保持为单位元，故自始至终 $f'(a_n) \equiv f'(a) \not\equiv 0 \pmod p$ ）。于是 $v_p(a_{n+1}-a_n) = v_p(f(a_n)) - v_p(f'(a_n)) \ge n+1$ ，所以 $(a_n)$ 在 $p$ 进度量下是柯西列；由 $\mathbb{Z}_p$ 的完备性，它收敛到某个 $\alpha \equiv a \pmod p$ ，而 $f$ 的连续性迫使 $f(\alpha) = \lim f(a_n) = 0$ 。唯一性：若 $\beta \ne \alpha$ 是另一个满足 $\beta \equiv a \pmod p$ 的根，则中值/泰勒展开 $f(\beta) - f(\alpha) = (\beta-\alpha)(f'(\alpha) + p(\cdots))$ 中 $f'(\alpha)$ 是单位元，将迫使 $\beta = \alpha$ 。

f(a) \equiv 0 \pmod p,\qquad f'(a) \not\equiv 0 \pmod p \ \implies\ \exists!\, \alpha \in \mathbb{Z}_p:\ f(\alpha)=0,\ \alpha \equiv a \pmod p

例题: 把 $\sqrt{2}$ 提升到 $\mathbb{Z}_7$

设 $f(X) = X^2 - 2$ ， $p = 7$ 。由于 $3^2 = 9 \equiv 2 \pmod 7$ ， $a_0 = 3$ 是模 $7$ 下的一个根。用亨泽尔引理求出下一个 $7$ 进数字，即确定 $\alpha \bmod 49$ 。

解答

验证假设： $f(3) = 9 - 2 = 7 \equiv 0 \pmod 7$ ，且 $f'(3) = 2 \cdot 3 = 6 \not\equiv 0 \pmod 7$ ，故亨泽尔引理适用。把下一步近似写作 $a_1 = 3 + 7k$ ， $k \in \{0, \dots, 6\}$ ，并模 $49$ 展开： $(3+7k)^2 = 9 + 42k + 49k^2 \equiv 9 + 42k \pmod{49}$ 。需要 $9 + 42k \equiv 2 \pmod{49}$ ，即 $42k \equiv -7 \equiv 42 \pmod{49}$ ；两边除以 $7$ 得 $6k \equiv 6 \pmod 7$ ，故 $k \equiv 1 \pmod 7$ 。取 $k=1$ 得 $a_1 = 3 + 7 = 10$ 。验证： $10^2 = 100 = 2 \cdot 49 + 2 \equiv 2 \pmod{49}$ ——恰好正确。于是 $\alpha \equiv 10 \pmod{49}$ ，这一过程会不断继续，逐位永远确定 $7$ 进制下的 $\alpha = \dots a_2 a_1 a_0$ 。

进阶奥斯特洛夫斯基定理： $p$ 进数与实数一样基本

既然每个素数 $p$ 都会产生自己的 $\mathbb{Q}_p$ ，为什么要把 $\mathbb{R}$ 单独当作 $\mathbb{Q}$ 唯一的完备化？坦率的回答是：没有任何理由这样做——除了作为“无穷远处”之外， $\mathbb{R}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的绝对值家族中并没有任何特殊地位。奥斯特洛夫斯基定理把这一点精确化了，正是这条定理证明了 $p$ 进算术并非附加在数论上的奇技淫巧，而是与实数本身同样基本。

定理: 奥斯特洛夫斯基定理（1916年）

$\mathbb{Q}$ 上任何非平凡的绝对值，要么等价于通常的绝对值 $|\cdot|_\infty$ ，要么恰好等价于某个素数 $p$ 对应的 $|\cdot|_p$ 。

为什么成立?

这说明 $\mathbb{Q}$ 的“位”——衡量大小并完备化该域的本质上不同的方式——恰好就是经典素数 $2, 3, 5, 7, \dots$ ，再加上代表通常绝对值的一个额外“无穷素位” $\infty$ 。从结构上讲，没有任何东西把 $\infty$ 与任何一个 $p$ 区分开来；它只是恰好是唯一的阿基米德位罢了。这一条单一的事实正是阿代尔（adeles）以及现代数论整个局部-整体哲学的种子：要理解 $\mathbb{Q}$ ，就要在每一个位 $\mathbb{R}, \mathbb{Q}_2, \mathbb{Q}_3, \mathbb{Q}_5, \dots$ 上同时研究它。

证明

概述。设 $|\cdot|$ 是 $\mathbb{Q}$ 上一个非平凡的绝对值。情形一（非阿基米德）： 若对每个整数 $n$ 都有 $|n| \le 1$ ，则集合 $\mathfrak{p} = \{n \in \mathbb{Z} : |n| < 1\}$ 是 $\mathbb{Z}$ 的一个素理想（由于 $\mathbb{Z}$ 上任何满足 $|n|\le1$ 的绝对值都自动满足超度量不等式，它对加法封闭；由素性对乘法封闭），因此对唯一的素数 $p$ 有 $\mathfrak{p} = (p)$ ；比较 $|p|$ 与 $p^{-1}$ 并利用乘性即可证明 $|\cdot|$ 与 $|\cdot|_p$ 等价。情形二（阿基米德）： 若存在整数 $n_0$ 使 $|n_0| > 1$ ，将任意整数 $n > 1$ 以 $n_0$ 为底展开，并结合三角不等式与 $|n_0^k| = |n_0|^k \to \infty$ ，可用 $n$ 自身的幂从上下界住 $|n|$ ，从而迫使 $|n| = n^c$ （常数 $c \in (0,1]$ 与 $n$ 无关）；这使得 $|\cdot|$ 与 $|\cdot|_\infty$ 等价。

这种局部-整体的哲学在二次型上取得了惊人的成功。哈塞–闵可夫斯基定理（哈塞，1920年代初，建立在闵可夫斯基工作的基础上）指出： $\mathbb{Q}$ 上的多元二次型 $f$ 在 $\mathbb{Q}$ 上非平凡地表示 $0$ ，当且仅当它在每一个完备化上都非平凡地表示 $0$ ：即在 $\mathbb{R}$ 上，以及对每个素数 $p$ 在 $\mathbb{Q}_p$ 上。检验在 $\mathbb{R}$ 上的可解性只是一个符号条件，而检验在 $\mathbb{Q}_p$ 上的可解性借助亨泽尔引理归结为一个有限的计算——于是原本在 $\mathbb{Q}^n$ 上看似无穷的搜索，就坍缩成了有限多个简单的局部检验。这是局部-整体（哈塞）原理的原型；它是二次型特有的一个真正奇迹； $3$ 次型可能不满足它（塞尔默曲线 $3x^3+4y^3+5z^3=0$ 在每一个局部位都有点，却没有有理点）。

f\ \text{represents}\ 0\ \text{over}\ \mathbb{Q} \iff f\ \text{represents}\ 0\ \text{over}\ \mathbb{R}\ \text{and over}\ \mathbb{Q}_p\ \text{for every prime}\ p

诚实提示： 这棵有限二叉树仅仅是一个示意性的替代物，并非与

\mathrm{SL}_2(\mathbb{Q}_p)

相关联的布鲁哈-蒂茨树（Bruhat–Tits tree）的真实图像。真正的布鲁哈-蒂茨树是无限的、

(p+1)

-正则的——每个顶点有

p+1

个邻居，而不是

2

个——其顶点是

\mathbb{Q}_p^2

中格（lattice）的相似类。这幅图真正诚实传达的，是这类树共有的定性形状：一种分支的、自相似的、无环结构，映照出嵌套的

p

进球永远不会部分重叠——它们要么互不相交，要么一个包含另一个，正如树枝不断分叉、永不重新汇合一样。

$\mathbb{Q}_p$ 是局部域的原型，每个数域 $K$ 也在其素理想处拥有自己的一族完备化，推广了 $\mathbb{Q}_p$ ——它们是代数数论局部-整体机制（类域论、分歧、伽罗瓦表示）的基本对象。固定 $p$ ，让域在一个塔 $\mathbb{Q}_p \subset K_\infty$ 中变化，正是岩泽理论的舞台，其 $p$ 进 $L$ 函数以 $p$ 进方式内插经典的 $L$ 值，并编码深刻的算术不变量（类数、Selmer 群）——这是现代算术几何的主要引擎之一，直接为攻克 Birch–Swinnerton-Dyer 猜想等问题提供了工具。

研究完美空间与鲜活的前沿

在二十世纪的大部分时间里， $p$ 进数始终停留在代数数论内部。这种局面在2010年代因 Peter Scholze 引入完美空间（perfectoid spaces）而改变：这是一类高度分歧的 $p$ 进几何对象（由 $\mathbb{Q}_p(p^{1/p^\infty})$ 这样的塔构造而成），其几何在一种“倾斜（tilting）”对应下，令人瞩目地变得与正特征中某些空间的几何等价。这使得关于特征 $p$ 几何（Frobenius 让事情变简单的世界）的深刻定理能够被搬运回来，用以证明混合特征与 $p$ 进特征中的新结果，反之亦然。

研究前沿截至 2026 年

截至2026年，完美空间及其后续概念仍是算术几何的核心引擎。Peter Scholze 荣获2018年菲尔兹奖，理由是“通过引入完美空间改变了 $p$ 进域上的算术代数几何，应用于伽罗瓦表示，并发展了新的上同调理论”。活跃的研究方向包括：扩展 $p$ 进霍奇理论，构建新的 $p$ 进上同调理论（由 Bhatt 与 Scholze 发展的棱柱上同调 prismatic cohomology），统一此前彼此分离的étale、晶体与de Rham理论；凝聚数学（condensed mathematics，Clausen–Scholze），一场部分由 $p$ 进几何驱动的拓扑代数大规模重构；以及正在进行中的、从完美体技术中提取朗兰兹纲领新情形与局部-整体相容性的研究。棱柱方法与凝聚方法究竟能在多大程度上证明算术几何中的挠现象，其精确边界仍是一个活跃而悬而未决的研究问题。

若 $p=3$ 时 $|x|_p = 1/9$ ， $|y|_p = 1/27$ ，超度量不等式告诉我们关于 $|x+y|_p$ 的什么信息？

根据奥斯特洛夫斯基定理， $\mathbb{Q}$ 上（在等价意义下）的非平凡绝对值有哪些？

亨泽尔引理能把模 $p$ 下 $f$ 的一个根 $a$ 提升为 $\mathbb{Z}_p$ 中精确的根，前提是满足下列哪个条件？

非零整数 $n$ 的 $p$ 进赋值 $v_p(n)$ 度量的是什么？

参考文献

Neal Koblitz (1984). p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions · DOI:10.1007/978-1-4612-1112-9
Peter Scholze (2012). Perfectoid spaces · arXiv:1111.4914

p进数与p进算术

直观用整除性重新定义“接近”

大学把 Zp\mathbb{Z}_pZp​ 构造为有限环的极限

进阶奥斯特洛夫斯基定理：ppp进数与实数一样基本

研究完美空间与鲜活的前沿

参考文献

大学把 $\mathbb{Z}_p$ 构造为有限环的极限

进阶奥斯特洛夫斯基定理： $p$ 进数与实数一样基本