加法法则(两个事件的容斥定理)

第一步(把并集分成互不相交的部分):把 $A \cup B$ 拆成三个两两不相交的部分:$A \setminus B$($A$ 中独有的结果),$A \cap B$($A \cap B$ 中共有的结果),以及 $B \setminus A$($B$ 中独有的结果)。 $A \cup B$ 中的每个结果都恰好落入这三个部分中的一个。

第二步(用不相交集合的加法原理数并集):由于这三部分两两不相交,结果的个数满足 $|A \cup B| = |A \setminus B| + |A \cap B| + |B \setminus A|$。

第三步(用同样的三部分表示 $|A|$ 与 $|B|$):同样地,$|A| = |A \setminus B| + |A \cap B|$(按 $A$ 是否与 $B$ 重叠来拆分)以及 $|B| = |B \setminus A| + |A \cap B|$(用同样的方式拆分 $B$)。把这两个等式相加,得到 $|A| + |B| = |A \setminus B| + |B \setminus A| + 2|A \cap B|$。

第四步(合并并除以 $|\Omega|$):比较第二步和第三步,得到 $|A| + |B| - |A \cap B| = |A \setminus B| + |B \setminus A| + |A \cap B| = |A \cup B|$。两边同除以 $|\Omega|$,并对每一项应用古典概率公式 $P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$,恰好得到 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$。