事件与概率

简单地把 $P(A)$ 与 $P(B)$ 相加,会把同时属于两个事件的每个结果计两次——一次在 $P(A)$ 中,一次在 $P(B)$ 中——因此必须恰好减去一次重叠部分 $P(A \cap B)$ 以修正计数。

第一步(把并集分成互不相交的部分):把 $A \cup B$ 拆成三个两两不相交的部分:$A \setminus B$($A$ 中独有的结果),$A \cap B$($A \cap B$ 中共有的结果),以及 $B \setminus A$($B$ 中独有的结果)。 $A \cup B$ 中的每个结果都恰好落入这三个部分中的一个。

第二步(用不相交集合的加法原理数并集):由于这三部分两两不相交,结果的个数满足 $|A \cup B| = |A \setminus B| + |A \cap B| + |B \setminus A|$。

第三步(用同样的三部分表示 $|A|$ 与 $|B|$):同样地,$|A| = |A \setminus B| + |A \cap B|$(按 $A$ 是否与 $B$ 重叠来拆分)以及 $|B| = |B \setminus A| + |A \cap B|$(用同样的方式拆分 $B$)。把这两个等式相加,得到 $|A| + |B| = |A \setminus B| + |B \setminus A| + 2|A \cap B|$。

第四步(合并并除以 $|\Omega|$):比较第二步和第三步,得到 $|A| + |B| - |A \cap B| = |A \setminus B| + |B \setminus A| + |A \cap B| = |A \cup B|$。两边同除以 $|\Omega|$,并对每一项应用古典概率公式 $P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$,恰好得到 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$。

选出一个同时满足 $A$ 与 $B$ 的结果,是一个两步计数过程(计数的乘法原理),因此有利结果对的个数就是每个分量中有利结果个数的乘积。

第一步(设置计数):设 $|A| = a$ 与 $|B| = b$。样本空间 $\Omega = \Omega_1 \times \Omega_2$ 中同时满足两个条件的一个结果是一对 $(\omega_1, \omega_2)$ 满足 $\omega_1 \in A$ 与 $\omega_2 \in B$。

第二步(应用计数的乘法原理):选取 $\omega_1$ 有 $a$ 种方式,与此选择独立地,选取 $\omega_2$ 有 $b$ 种方式,于是由计数的乘法原理,共有 $a \cdot b$ 个有利的组合。

第三步(除以结果总数):整个样本空间共有 $m \cdot n$ 个等可能的结果,因此 $P(A \cap B) = \frac{ab}{mn}$。

第四步(把分式分解因子):改写为 $\frac{ab}{mn} = \frac{a}{m} \cdot \frac{b}{n} = P(A) \cdot P(B)$,这是因为由古典概率公式, $P(A) = a/m$ 且 $P(B) = b/n$ 由古典概率公式给出,这就证明了结论。