独立事件的乘法法则定理

第一步(设置计数):设 $|A| = a$ 与 $|B| = b$。样本空间 $\Omega = \Omega_1 \times \Omega_2$ 中同时满足两个条件的一个结果是一对 $(\omega_1, \omega_2)$ 满足 $\omega_1 \in A$ 与 $\omega_2 \in B$。

第二步(应用计数的乘法原理):选取 $\omega_1$ 有 $a$ 种方式,与此选择独立地,选取 $\omega_2$ 有 $b$ 种方式,于是由计数的乘法原理,共有 $a \cdot b$ 个有利的组合。

第三步(除以结果总数):整个样本空间共有 $m \cdot n$ 个等可能的结果,因此 $P(A \cap B) = \frac{ab}{mn}$。

第四步(把分式分解因子):改写为 $\frac{ab}{mn} = \frac{a}{m} \cdot \frac{b}{n} = P(A) \cdot P(B)$,这是因为由古典概率公式, $P(A) = a/m$ 且 $P(B) = b/n$ 由古典概率公式给出,这就证明了结论。