通过伊藤引理导出的布莱克-舒尔斯方程

对 $V(S_t,t)$ 应用伊藤引理，把 $V$ 视为随机过程 $S_t$ 与时间的光滑函数。该引理给出 $dV = \left(\dfrac{\partial V}{\partial t} + \mu S_t \dfrac{\partial V}{\partial S} + \dfrac{1}{2}\sigma^2 S_t^2 \dfrac{\partial^2 V}{\partial S^2}\right)dt + \sigma S_t \dfrac{\partial V}{\partial S}\,dW_t$。与普通微积分不同，这里出现了一个额外项 $\frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2 \partial^2 V/\partial S^2$，它来自布朗运动非零的二次变差。

现在构造一个对冲组合 $\Pi = V - \Delta S_t$，持有一份衍生品并卖空 $\Delta$ 股股票，其中 $\Delta$ 取为 $\partial V/\partial S$。它的变化为 $d\Pi = dV - \Delta\,dS_t$。代入 $dV$ 的表达式以及 $dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t$，并取 $\Delta = \partial V/\partial S$，随机项 $\sigma S_t \partial V/\partial S\,dW_t$ 与 $-\Delta \sigma S_t\,dW_t$ 恰好相消。

剩下的是 $d\Pi = \left(\dfrac{\partial V}{\partial t} + \dfrac{1}{2}\sigma^2 S_t^2 \dfrac{\partial^2 V}{\partial S^2}\right)dt$，这是瞬间 $dt$ 内纯粹确定性（无风险）的变化，不再依赖股票的漂移率 $\mu$。

无风险组合必须恰好获得无风险利率的收益，否则就可以通过借贷该组合来实现套利。于是 $d\Pi = r\Pi\,dt = r(V - S_t\,\partial V/\partial S)\,dt$。令 $d\Pi$ 的两个表达式相等并除以 $dt$，得到 $\dfrac{\partial V}{\partial t} + \dfrac{1}{2}\sigma^2 S^2 \dfrac{\partial^2 V}{\partial S^2} = rV - rS\dfrac{\partial V}{\partial S}$，整理后即为布莱克-舒尔斯方程。