数理金融

一份看涨期权加上恰好能在到期时增值为 $K$ 的现金，与一份看跌期权加上一股股票，只是保证在 $T$ 时刻恰好持有一份价值 $\max(S_T, K)$ 资产的两种不同方式。如果两个方案总是产出同样的结果，它们今天的价格就必须相等。

在今天，即时刻 $t$，构造两个投资组合。组合A持有一份看涨期权，外加一笔以无风险利率投资的现金 $Ke^{-r(T-t)}$，使其在时刻 $T$ 恰好增值到 $K$。组合B持有一份看跌期权，外加一股股票。

比较它们在到期日 $T$ 两种可能情形下的价值。若 $S_T \ge K$：看涨期权被行使，价值为 $S_T - K$，现金已增值为 $K$，故组合A的价值为 $(S_T - K) + K = S_T$。看跌期权到期作废，股票价值为 $S_T$，故组合B的价值为 $0 + S_T = S_T$。两个组合相等。

若 $S_T < K$：看涨期权到期作废，现金仍价值 $K$，故组合A的价值为 $0 + K = K$。看跌期权被行使，价值为 $K - S_T$，股票价值为 $S_T$，故组合B的价值为 $(K - S_T) + S_T = K$。两个组合再次相等，这次都等于 $K$。

因此，在每一种可能的结果下，组合A与组合B在 $T$ 时刻的价值都恰好相等。若它们在 $t$ 时刻的价格不同，套利者就可以卖出较贵的组合、买入较便宜的组合，将差额以无风险利率投资，无论股票如何变化，都能在 $T$ 时刻获得无风险利润。由于真实市场不允许这种无风险利润长期存在，两个组合在 $t$ 时刻的价格必须相等：$C + Ke^{-r(T-t)} = P + S$，整理后得到 $C - P = S - Ke^{-r(T-t)}$。

普通微积分认为 $V(S_t,t)$ 的变化只来自 $\partial V/\partial t$ 和 $\partial V/\partial S$。但 $S_t$ 会随机抖动，伊藤引理表明这种随机性会通过由二阶导数 $\partial^2 V/\partial S^2$ 构成的额外项反馈到 $V$ 中——这是普通微积分中没有类似项的修正。一旦考虑了这个额外项，持有该衍生品并配以恰当数量股票的投资组合就可以做到完全无风险，而无风险的投资组合只能获得无风险利率 $r$ 的收益。

对 $V(S_t,t)$ 应用伊藤引理，把 $V$ 视为随机过程 $S_t$ 与时间的光滑函数。该引理给出 $dV = \left(\dfrac{\partial V}{\partial t} + \mu S_t \dfrac{\partial V}{\partial S} + \dfrac{1}{2}\sigma^2 S_t^2 \dfrac{\partial^2 V}{\partial S^2}\right)dt + \sigma S_t \dfrac{\partial V}{\partial S}\,dW_t$。与普通微积分不同，这里出现了一个额外项 $\frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2 \partial^2 V/\partial S^2$，它来自布朗运动非零的二次变差。

现在构造一个对冲组合 $\Pi = V - \Delta S_t$，持有一份衍生品并卖空 $\Delta$ 股股票，其中 $\Delta$ 取为 $\partial V/\partial S$。它的变化为 $d\Pi = dV - \Delta\,dS_t$。代入 $dV$ 的表达式以及 $dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t$，并取 $\Delta = \partial V/\partial S$，随机项 $\sigma S_t \partial V/\partial S\,dW_t$ 与 $-\Delta \sigma S_t\,dW_t$ 恰好相消。

剩下的是 $d\Pi = \left(\dfrac{\partial V}{\partial t} + \dfrac{1}{2}\sigma^2 S_t^2 \dfrac{\partial^2 V}{\partial S^2}\right)dt$，这是瞬间 $dt$ 内纯粹确定性（无风险）的变化，不再依赖股票的漂移率 $\mu$。

无风险组合必须恰好获得无风险利率的收益，否则就可以通过借贷该组合来实现套利。于是 $d\Pi = r\Pi\,dt = r(V - S_t\,\partial V/\partial S)\,dt$。令 $d\Pi$ 的两个表达式相等并除以 $dt$，得到 $\dfrac{\partial V}{\partial t} + \dfrac{1}{2}\sigma^2 S^2 \dfrac{\partial^2 V}{\partial S^2} = rV - rS\dfrac{\partial V}{\partial S}$，整理后即为布莱克-舒尔斯方程。