亨泽尔引理

将 $\alpha$ 构造为逐次逼近 $a = a_0, a_1, a_2, \dots \in \mathbb{Z}_p$ 的极限，其中 $a_{n+1} = a_n - f(a_n)/f'(a_n)$，用归纳法证明对一切 $n$ 都有 $v_p(f(a_n)) \ge n+1$ 及 $v_p(f'(a_n)) = v_p(f'(a)) = 0$（因为每一步都有 $a_{n+1} \equiv a_n \pmod p$，导数始终保持为单位元，故自始至终 $f'(a_n) \equiv f'(a) \not\equiv 0 \pmod p$）。于是 $v_p(a_{n+1}-a_n) = v_p(f(a_n)) - v_p(f'(a_n)) \ge n+1$，所以 $(a_n)$ 在 $p$进度量下是柯西列；由 $\mathbb{Z}_p$ 的完备性，它收敛到某个 $\alpha \equiv a \pmod p$，而 $f$ 的连续性迫使 $f(\alpha) = \lim f(a_n) = 0$。唯一性：若 $\beta \ne \alpha$ 是另一个满足 $\beta \equiv a \pmod p$ 的根，则中值/泰勒展开 $f(\beta) - f(\alpha) = (\beta-\alpha)(f'(\alpha) + p(\cdots))$ 中 $f'(\alpha)$ 是单位元，将迫使 $\beta = \alpha$。