米田引理

我们先验证对每个 $x\in F(A)$ 都有 $\Phi(\Psi(x))=x$。展开定义:把 $\Psi$ 的公式特殊化到 $X=A$、$f=1_A$,得到 $\Psi(x)_A(1_A)=F(1_A)(x)$。因为 $F$ 是函子,它把恒等态射 $1_A$ 送到 $F(A)$ 上的恒等函数,所以 $F(1_A)(x)=x$。因此 $\Phi(\Psi(x))=\Psi(x)_A(1_A)=x$,正如所需——这一方向只用到了函子的恒等律。

现在验证更难的方向,对每个自然变换 $\eta:h_A\Rightarrow F$ 都有 $\Psi(\Phi(\eta))=\eta$。两边都是自然变换 $h_A\Rightarrow F$,所以只需说明它们在每个对象 $X$ 与每个元素 $f\in h_A(X)=\mathrm{Hom}(X,A)$ 处的分量一致。

用 $x:=\Phi(\eta)=\eta_A(1_A)$ 展开 $\Psi(\Phi(\eta))_X(f)$ 的 $\Psi$ 公式,得到它等于 $F(f)(\eta_A(1_A))$。

现在用 $\eta$ 本身的自然性,以 $\eta_Y(f\circ g)=F(g)(\eta_X(f))$ 的形式,取 $g:=f:X\to A$、另一个变量取为 $A$:在该自然性方块中取 $f:=1_A\in h_A(A)$,恰好给出 $\eta_X(1_A\circ f)=F(f)(\eta_A(1_A))$,即由 $1_A\circ f=f$ 得 $\eta_X(f)=F(f)(\eta_A(1_A))$。

结合最后两式:$\Psi(\Phi(\eta))_X(f)=F(f)(\eta_A(1_A))=\eta_X(f)$。由于 $X$ 与 $f$ 是任意的,两个自然变换处处一致,所以 $\Psi(\Phi(\eta))=\eta$。结合第一段,$\Phi$ 与 $\Psi$ 是互逆的双射。