米田引理

这正是让范畴论学者能够把一个无限、难以把握的自然变换族,换成 $F(A)$ 的一个具体元素——关于从可表预层 $h_A$ 出发的映射的每一个问题,都归结为关于一个集合的问题。

我们先验证对每个 $x\in F(A)$ 都有 $\Phi(\Psi(x))=x$。展开定义:把 $\Psi$ 的公式特殊化到 $X=A$、$f=1_A$,得到 $\Psi(x)_A(1_A)=F(1_A)(x)$。因为 $F$ 是函子,它把恒等态射 $1_A$ 送到 $F(A)$ 上的恒等函数,所以 $F(1_A)(x)=x$。因此 $\Phi(\Psi(x))=\Psi(x)_A(1_A)=x$,正如所需——这一方向只用到了函子的恒等律。

现在验证更难的方向,对每个自然变换 $\eta:h_A\Rightarrow F$ 都有 $\Psi(\Phi(\eta))=\eta$。两边都是自然变换 $h_A\Rightarrow F$,所以只需说明它们在每个对象 $X$ 与每个元素 $f\in h_A(X)=\mathrm{Hom}(X,A)$ 处的分量一致。

用 $x:=\Phi(\eta)=\eta_A(1_A)$ 展开 $\Psi(\Phi(\eta))_X(f)$ 的 $\Psi$ 公式,得到它等于 $F(f)(\eta_A(1_A))$。

现在用 $\eta$ 本身的自然性,以 $\eta_Y(f\circ g)=F(g)(\eta_X(f))$ 的形式,取 $g:=f:X\to A$、另一个变量取为 $A$:在该自然性方块中取 $f:=1_A\in h_A(A)$,恰好给出 $\eta_X(1_A\circ f)=F(f)(\eta_A(1_A))$,即由 $1_A\circ f=f$ 得 $\eta_X(f)=F(f)(\eta_A(1_A))$。

结合最后两式:$\Psi(\Phi(\eta))_X(f)=F(f)(\eta_A(1_A))=\eta_X(f)$。由于 $X$ 与 $f$ 是任意的,两个自然变换处处一致,所以 $\Psi(\Phi(\eta))=\eta$。结合第一段,$\Phi$ 与 $\Psi$ 是互逆的双射。

全忠实性正是保证翻译 $A\mapsto h_A$ 不丢失任何信息:$\mathcal{C}$ 中不同的态射变成不同的自然变换,而两个可表预层之间的每一个自然变换都来自 $\mathcal{C}$ 中一个真实的态射,这正是纯粹通过映射到对象来研究对象这一方法的正当性所在。

把目标函子取为 $F:=h_B$ 应用米田引理。该引理给出双射 $\mathrm{Nat}(h_A,h_B)\cong h_B(A)$,展开定义 $h_B(A)=\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$ 恰好得到 $\mathrm{Nat}(h_A,h_B)\cong\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$。

剩下要确定的是,在这个双射下,自然变换 $\eta:h_A\Rightarrow h_B$ 对应到 $\mathcal{C}$ 中的哪个态射,并验证它就是后合成。按 $\Phi$ 的公式,$\eta$ 对应元素 $\Phi(\eta)=\eta_A(1_A)\in\mathrm{Hom}(A,B)$;把这个态射记为 $f$。

现在用 $\Psi(\Phi(\eta))=\eta$(上面的定理,应用于 $F=h_B$)从 $f$ 恢复 $\eta$ 的每一个分量:对任意对象 $X$ 与任意 $g\in h_A(X)=\mathrm{Hom}(X,A)$,$\Psi(f)_X(g)=h_B(g)(f)$。展开 $h_B$ 在态射上的反变作用——前合成——得到 $h_B(g)(f)=f\circ g$。所以 $\eta_X(g)=f\circ g$:$\eta$ 的每个分量都字面意义上就是与 $f$ 后合成。

因为 $\Phi$ 与 $\Psi$ 互为逆双射(上面已证明),而与 $f$ 后合成恰好就是 $\Psi(f)$,所以把 $f$ 送到与 $f$ 后合成的这个指派本身就是一个双射 $\mathrm{Hom}(A,B)\to\mathrm{Nat}(h_A,h_B)$——这正是 $y$ 全忠实这一命题。