米田嵌入是全忠实的

把目标函子取为 $F:=h_B$ 应用米田引理。该引理给出双射 $\mathrm{Nat}(h_A,h_B)\cong h_B(A)$,展开定义 $h_B(A)=\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$ 恰好得到 $\mathrm{Nat}(h_A,h_B)\cong\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$。

剩下要确定的是,在这个双射下,自然变换 $\eta:h_A\Rightarrow h_B$ 对应到 $\mathcal{C}$ 中的哪个态射,并验证它就是后合成。按 $\Phi$ 的公式,$\eta$ 对应元素 $\Phi(\eta)=\eta_A(1_A)\in\mathrm{Hom}(A,B)$;把这个态射记为 $f$。

现在用 $\Psi(\Phi(\eta))=\eta$(上面的定理,应用于 $F=h_B$)从 $f$ 恢复 $\eta$ 的每一个分量:对任意对象 $X$ 与任意 $g\in h_A(X)=\mathrm{Hom}(X,A)$,$\Psi(f)_X(g)=h_B(g)(f)$。展开 $h_B$ 在态射上的反变作用——前合成——得到 $h_B(g)(f)=f\circ g$。所以 $\eta_X(g)=f\circ g$:$\eta$ 的每个分量都字面意义上就是与 $f$ 后合成。

因为 $\Phi$ 与 $\Psi$ 互为逆双射(上面已证明),而与 $f$ 后合成恰好就是 $\Psi(f)$,所以把 $f$ 送到与 $f$ 后合成的这个指派本身就是一个双射 $\mathrm{Hom}(A,B)\to\mathrm{Nat}(h_A,h_B)$——这正是 $y$ 全忠实这一命题。