二维布劳威尔不动点定理

第一步 — 反设 $f$ 没有不动点。则对每个 $x \in D^2$ 都有 $f(x) \ne x$,故从 $f(x)$ 出发经过 $x$ 的射线是良定义的;设 $r(x) \in S^1 = \partial D^2$ 为该射线离开圆盘的点。由于 $f(x) \ne x$ 连续变化且从不为零,$r: D^2 \to S^1$ 连续。

第二步 — $r$ 是一个收缩(retraction)。对已经位于边界上的 $x \in S^1$,从 $f(x)$ 经过 $x$ 的射线恰好在 $x$ 本身处离开(因为 $x$ 已在边界上,且射线从内部向外只穿过边界一次),故对所有 $x \in S^1$ 都有 $r(x) = x$。因此 $r: D^2 \to S^1$ 是一个收缩:一个逐点固定子空间 $S^1$ 的连续映射。

第三步 — 收缩是不可能的:应用函子 $\pi_1$。设 $i: S^1 \hookrightarrow D^2$ 为包含映射。由于 $r \circ i = \mathrm{id}_{S^1}$(根据收缩的定义),应用基本群函子,在群的层面得到 $\pi_1(r) \circ \pi_1(i) = \pi_1(\mathrm{id}_{S^1}) = \mathrm{id}_{\pi_1(S^1)}$(函子性:$\pi_1$ 把连续映射的复合变为同态的复合)。但 $\pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z}$,而 $\pi_1(D^2)$ 是平凡的(凸圆盘中的每个环路都可通过直线同伦收缩),故 $\pi_1(i): \mathbb{Z} \to \{e\}$ 与 $\pi_1(r): \{e\} \to \mathbb{Z}$ 复合为零映射,这不可能等于 $\mathbb{Z}$(一个非平凡群)上的恒等映射——矛盾。

第四步 — 结论。第三步中的矛盾表明这样的收缩 $r$ 不可能存在,故第一步的假设($f$ 没有不动点)必定为假。因此每个连续映射 $f: D^2 \to D^2$ 都有不动点。