基本群

它把一个几何上难以把握的问题("圆周上本质上不同的环路有多少种?")转化为普通的整数运算,是代数拓扑中所有绕数论证最终都可追溯到的唯一计算。

第一步 — 建立覆盖映射。设 $p: \mathbb{R} \to S^1$ 为 $p(t) = (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t)$,这是一个连续满射,$S^1$ 的每一点都有一个被均匀覆盖的邻域(一段小弧在 $p$ 下的原像是 $\mathbb{R}$ 中若干互不相交开区间的并,每个区间同胚地映到该弧上)。固定基点 $1 = p(0) \in S^1$。

第二步 — 道路提升。对满足 $\gamma(0)=\gamma(1)=1$ 的任意环路 $\gamma: [0,1] \to S^1$,存在唯一的连续提升 $\tilde\gamma: [0,1] \to \mathbb{R}$,满足 $p \circ \tilde\gamma = \gamma$ 且 $\tilde\gamma(0) = 0$(构造方法:用有限个小区间覆盖 $[0,1]$,使 $\gamma$ 在每个小区间上都停留在某个被均匀覆盖的邻域内,然后逐段提升,每次选取从前一个端点延续的 $p^{-1}$ 分支)。定义 $\deg(\gamma) = \tilde\gamma(1) \in \mathbb{Z}$(这是一个整数,因为 $p(\tilde\gamma(1)) = \gamma(1) = 1 = p(0)$ 迫使 $\tilde\gamma(1) \in \mathbb{Z}$)。

第三步 — 同伦不变性。若 $\gamma \simeq_p \gamma'$ 通过同伦 $H$,则同伦提升性质(用与道路提升相同的方法、逐条带证明)给出连续提升 $\tilde H$,满足 $\tilde H(s,0)=\tilde\gamma(s)$,且对所有 $t$ 有 $\tilde H(0,t)=0$(为常数,因为它提升了常值基点环路)。于是 $t \mapsto \tilde H(1,t)$ 是 $t$ 的连续整数值函数(由与第二步相同的论证),因而是常数;故 $\deg(\gamma) = \tilde H(1,0) = \tilde H(1,1) = \deg(\gamma')$。因此 $\deg$ 在同伦类 $[\gamma] \mapsto \deg(\gamma)$ 上是良定义的。

第四步 — 同态性质。对环路 $\gamma, \delta$,提升 $\gamma * \delta$ 的方法是:先提升 $\gamma$ 使其终止于 $\deg(\gamma)$,再从 $\deg(\gamma)$ 开始提升 $\delta$(这是 $\delta$ 的提升的一个平移副本,由于 $p$ 在整数平移下不变而有效),由此得到 $\deg(\gamma * \delta) = \deg(\gamma) + \deg(\delta)$。故 $[\gamma] \mapsto \deg(\gamma)$ 是群同态 $\pi_1(S^1,1) \to \mathbb{Z}$。

第五步 — 双射性。满射:对任意 $n \in \mathbb{Z}$,$\gamma_n(s) = p(ns)$ 是满足 $\deg(\gamma_n)=n$ 的环路。单射:若 $\deg(\gamma)=0$,提升 $\tilde\gamma$ 是 $\mathbb{R}$ 中以 $0$ 为基点的环路(因为 $\tilde\gamma(1)=0=\tilde\gamma(0)$);$\mathbb{R}$ 是凸的,故直线同伦 $\tilde H(s,t) = (1-t)\tilde\gamma(s)$ 在保持端点不变的情况下把 $\tilde\gamma$ 收缩为 $0$ 处的常值道路,与 $p$ 复合后得到从 $\gamma$ 到常值环路的道路同伦,故 $[\gamma]$ 是平凡的。因此 $\deg$ 是双射同态,即同构 $\pi_1(S^1,1) \cong \mathbb{Z}$。

它仅从 $D^2$ 的形状出发,完全不需要 $f$ 的任何公式,就在极其广泛的场景中(纳什均衡、微分方程、经济均衡)保证了解的存在——而这个证明是把困难的分析问题转化为关于 $\pi_1$ 的简单代数问题的一个精彩范例。

第一步 — 反设 $f$ 没有不动点。则对每个 $x \in D^2$ 都有 $f(x) \ne x$,故从 $f(x)$ 出发经过 $x$ 的射线是良定义的;设 $r(x) \in S^1 = \partial D^2$ 为该射线离开圆盘的点。由于 $f(x) \ne x$ 连续变化且从不为零,$r: D^2 \to S^1$ 连续。

第二步 — $r$ 是一个收缩(retraction)。对已经位于边界上的 $x \in S^1$,从 $f(x)$ 经过 $x$ 的射线恰好在 $x$ 本身处离开(因为 $x$ 已在边界上,且射线从内部向外只穿过边界一次),故对所有 $x \in S^1$ 都有 $r(x) = x$。因此 $r: D^2 \to S^1$ 是一个收缩:一个逐点固定子空间 $S^1$ 的连续映射。

第三步 — 收缩是不可能的:应用函子 $\pi_1$。设 $i: S^1 \hookrightarrow D^2$ 为包含映射。由于 $r \circ i = \mathrm{id}_{S^1}$(根据收缩的定义),应用基本群函子,在群的层面得到 $\pi_1(r) \circ \pi_1(i) = \pi_1(\mathrm{id}_{S^1}) = \mathrm{id}_{\pi_1(S^1)}$(函子性:$\pi_1$ 把连续映射的复合变为同态的复合)。但 $\pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z}$,而 $\pi_1(D^2)$ 是平凡的(凸圆盘中的每个环路都可通过直线同伦收缩),故 $\pi_1(i): \mathbb{Z} \to \{e\}$ 与 $\pi_1(r): \{e\} \to \mathbb{Z}$ 复合为零映射,这不可能等于 $\mathbb{Z}$(一个非平凡群)上的恒等映射——矛盾。

第四步 — 结论。第三步中的矛盾表明这样的收缩 $r$ 不可能存在,故第一步的假设($f$ 没有不动点)必定为假。因此每个连续映射 $f: D^2 \to D^2$ 都有不动点。

这是该学科的主要计算工具:它使得可以从(往往简单得多的)重叠部分的基本群构造出复杂空间的基本群,数字8形空间的自由群 $F_2$ 正是这样计算出来的(两个在一点重叠的圆)。

完整证明需要仔细的组合记录;这里给出结构性提纲。第一步 — 生成元。$X$ 中以 $x_0$ 为基点的任意环路 $\gamma$ 都可以细分为有限多段子路径,每段完全位于 $U$ 内或完全位于 $V$ 内(对紧致区间 $[0,1]$ 的开覆盖 $\{\gamma^{-1}(U), \gamma^{-1}(V)\}$ 使用勒贝格数论证),因此 $[\gamma]$ 可以写成若干环路的乘积,每个环路代表 $\pi_1(U,x_0)$ 或 $\pi_1(V,x_0)$ 中的一个元素(在通过道路连通的 $U \cap V$ 中选定的路径把子路径端点连回 $x_0$ 之后)。这表明 $\pi_1(X,x_0)$ 由 $\pi_1(U,x_0)$ 与 $\pi_1(V,x_0)$ 的像共同生成。

第二步 — 关系。位于 $U \cap V$ 中的任意环路 $\delta$ 先验地代表两个可能不同的元素:$i_U(\delta) \in \pi_1(U,x_0)$(把 $\delta$ 看作 $U$ 中的环路)与 $i_V(\delta) \in \pi_1(V,x_0)$(看作 $V$ 中的环路)。由于 $\delta$ 在 $X$ 中确实是同一个环路,它在 $\pi_1(U) \to \pi_1(X)$ 与 $\pi_1(V) \to \pi_1(X)$ 下的像必须一致;这恰好迫使对每个 $[\delta] \in \pi_1(U \cap V, x_0)$ 都有融合关系 $i_U(\delta) = i_V(\delta)$。

第三步 — 没有更多关系。一个更精细的论证(以相同方式细分同伦 $H: [0,1]\times[0,1] \to X$,利用正方形的紧致性得到每个小格都位于 $U$ 或 $V$ 内的有限网格)表明这些融合关系是所需的唯一关系:表示 $\pi_1(X,x_0)$ 中同一元素的生成元的任意两个词,都可以通过一系列有限步骤相互关联,每一步都由某个融合关系所证成。这恰好把 $\pi_1(X,x_0)$ 等同于该融合自由积。