凯莱定理

第一步 — 为每个群元素关联一个置换。 对每个 $g \in G$,定义左平移映射 $\lambda_g : G \to G,\; x \mapsto g * x$。因为 $\lambda_{g^{-1}}$ 是其双侧逆映射,所以 $\lambda_g$ 是 $G$ 上的双射,即 $\lambda_g \in \mathrm{Sym}(G)$。

**第二步 — 验证 $\Lambda : G \to \mathrm{Sym}(G),\; g \mapsto \lambda_g$ 是单同态。** 由结合律,对所有 $x \in G$ 有 $\lambda_{g * h}(x) = (g * h) * x = g * (h * x) = (\lambda_g \circ \lambda_h)(x)$,故 $\Lambda(g * h) = \Lambda(g) \circ \Lambda(h)$。若 $\Lambda(g) = \mathrm{id}$,在单位元处求值可得 $\lambda_g(e) = g * e = g = e$,证明 $\ker(\Lambda) = \{e\}$。因此 $G$ 同构于其像群 $\Lambda(G) \le \mathrm{Sym}(G)$。