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群论 捕捉对称性的代数结构:一个运算、几条公理,同一个想法贯穿从立方体的旋转到五次方程不能用根式求解的事实。
直观 什么是对称? 看一张正方形纸片。把它旋转90°、180°、270°,或者不动,它看起来完全一样。你也可以用四种不同方式把它翻过来。这八种操作中的每一种都是正方形的一个对称 :一种不改变形状的操作。先做一个对称、再做另一个对称,结果仍然是一个对称——先旋转90°再翻转,结果依旧是这八种操作之一。
把立方体映射到自身的旋转。算上不动的恒等变换,一共有24种——恰好等于立方体四条体对角线的排列方式数。 这种模式——一组操作、一种把它们组合起来的方式(先做一个再做另一个)、一个什么都不做的操作,以及每个操作都能被"撤销"——在数学中随处可见:图形的对称、洗牌的方式、非零有理数在乘法下的结构、可逆矩阵在矩阵乘法下的结构。群论 研究的正是这种模式本身,剥离了让每个例子各不相同的具体内容。
中学 钟表算术:近在眼前的一个群 时钟有12个小时:10点加5小时得到3点,因为 10 + 5 = 15 10 + 5 = 15 10 + 5 = 15 15 15 15 3 3 3 { 0 , 1 , … , 11 } \{0, 1, \dots, 11\} { 0 , 1 , … , 11 } ( Z / 12 Z , + ) (\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}, +) ( Z /12 Z , + )
大学 形式化定义 定义: 群
群 是一个集合 G G G ∗ : G × G → G *: G \times G \to G ∗ : G × G → G a , b , c ∈ G a,b,c \in G a , b , c ∈ G ( a ∗ b ) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c ) (a*b)*c = a*(b*c) ( a ∗ b ) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c ) e ∈ G e \in G e ∈ G a a a e ∗ a = a ∗ e = a e*a = a*e = a e ∗ a = a ∗ e = a a ∈ G a \in G a ∈ G a − 1 ∈ G a^{-1} \in G a − 1 ∈ G a ∗ a − 1 = a − 1 ∗ a = e a*a^{-1} = a^{-1}*a = e a ∗ a − 1 = a − 1 ∗ a = e a , b a, b a , b a ∗ b = b ∗ a a*b = b*a a ∗ b = b ∗ a 交换群(阿贝尔群) 。
( a ∗ b ) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c ) , e ∗ a = a ∗ e = a , a ∗ a − 1 = a − 1 ∗ a = e (a * b) * c = a * (b * c), \qquad e * a = a * e = a, \qquad a * a^{-1} = a^{-1} * a = e ( a ∗ b ) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c ) , e ∗ a = a ∗ e = a , a ∗ a − 1 = a − 1 ∗ a = e 例子:( Z , + ) (\mathbb{Z}, +) ( Z , + ) ( Q , + ) (\mathbb{Q}, +) ( Q , + ) ( Z , × ) (\mathbb{Z}, \times) ( Z , × ) 不是 一个群——大多数整数在 Z \mathbb{Z} Z ( R ∖ { 0 } , × ) (\mathbb{R} \setminus \{0\}, \times) ( R ∖ { 0 } , × ) n × n n \times n n × n G L n ( R ) \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) GL n ( R ) n ≥ 2 n \ge 2 n ≥ 2
大学 子群、生成元与凯莱图 定义: 子群
子集 H ⊆ G H \subseteq G H ⊆ G e e e ∗ * ∗ 子群 ——此时 H H H G G G 生成集 是子集 S ⊆ G S \subseteq G S ⊆ G G G G S S S 循环群 。
凯莱图 把生成集变成一幅图:G G G s s s g g g g ∗ s g*s g ∗ s ( Z / 2 Z ) 3 (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3 ( Z /2 Z ) 3
立方体图 Q 3 Q_3 Q 3 ( 1 , 0 , 0 ) (1,0,0) ( 1 , 0 , 0 ) ( 0 , 1 , 0 ) (0,1,0) ( 0 , 1 , 0 ) ( 0 , 0 , 1 ) (0,0,1) ( 0 , 0 , 1 ) ( Z / 2 Z ) 3 (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3 ( Z /2 Z ) 3 大学 子群的大小 若 G G G H ≤ G H \le G H ≤ G ∣ H ∣ |H| ∣ H ∣ ∣ G ∣ |G| ∣ G ∣
为什么成立? 左陪集 g H = { g h : h ∈ H } gH = \{gh : h \in H\} g H = { g h : h ∈ H } G G G ∣ H ∣ |H| ∣ H ∣ h ↦ g h h \mapsto gh h ↦ g h H → g H H \to gH H → g H ∣ G ∣ |G| ∣ G ∣ ∣ H ∣ |H| ∣ H ∣
证明 **第一步 — 利用等价关系将 G G G G G G a ∼ b ⟺ a − 1 b ∈ H a \sim b \iff a^{-1}b \in H a ∼ b ⟺ a − 1 b ∈ H H H H a − 1 a = e ∈ H a^{-1}a = e \in H a − 1 a = e ∈ H ( a − 1 b ) − 1 = b − 1 a ∈ H (a^{-1}b)^{-1} = b^{-1}a \in H ( a − 1 b ) − 1 = b − 1 a ∈ H ( a − 1 b ) ( b − 1 c ) = a − 1 c ∈ H (a^{-1}b)(b^{-1}c) = a^{-1}c \in H ( a − 1 b ) ( b − 1 c ) = a − 1 c ∈ H a a a a H = { a h : h ∈ H } aH = \{ah : h \in H\} a H = { ah : h ∈ H } G G G [ G : H ] [G : H] [ G : H ]
**第二步 — 证明每个陪集的大小均为 ∣ H ∣ |H| ∣ H ∣ a ∈ G a \in G a ∈ G ϕ a : H → a H , h ↦ a h \phi_a : H \to aH,\; h \mapsto ah ϕ a : H → a H , h ↦ ah a − 1 a^{-1} a − 1 a h 1 = a h 2 ⟹ h 1 = h 2 ah_1 = ah_2 \implies h_1 = h_2 a h 1 = a h 2 ⟹ h 1 = h 2 ∣ a H ∣ = ∣ H ∣ |aH| = |H| ∣ a H ∣ = ∣ H ∣ [ G : H ] [G : H] [ G : H ] ∣ G ∣ = [ G : H ] ∣ H ∣ |G| = [G : H]\,|H| ∣ G ∣ = [ G : H ] ∣ H ∣ ∣ H ∣ |H| ∣ H ∣ ∣ G ∣ |G| ∣ G ∣
g H = { g ∗ h : h ∈ H } , ∣ G ∣ = [ G : H ] ∣ H ∣ gH = \{g * h : h \in H\}, \qquad |G| = [G : H]\,|H| g H = { g ∗ h : h ∈ H } , ∣ G ∣ = [ G : H ] ∣ H ∣ 拉格朗日定理立刻解释了为什么立方体的旋转群(阶为24,如上所示)只能有阶为1、2、3、4、6、8、12、24——即24的约数——的子群,而绝不会有阶为5的子群。这是一个很强的限制:仅仅知道 ∣ G ∣ |G| ∣ G ∣
常见错误. 拉格朗日定理的逆命题 是错的:∣ G ∣ |G| ∣ G ∣ A 4 A_4 A 4 进阶 对称群与为何某些方程没有求根公式 n n n 对称群 S n S_n S n n ! n! n ! S 4 S_4 S 4 S n S_n S n
每个群 G G G G G G S y m ( G ) \mathrm{Sym}(G) Sym ( G ) n = ∣ G ∣ n = |G| n = ∣ G ∣ S n S_n S n
为什么成立? 抽象的群公理表面上似乎比具体的置换更宽泛,但凯莱定理证明并非如此：用元素 g g g G G G G G G
证明 第一步 — 为每个群元素关联一个置换。 对每个 g ∈ G g \in G g ∈ G λ g : G → G , x ↦ g ∗ x \lambda_g : G \to G,\; x \mapsto g * x λ g : G → G , x ↦ g ∗ x λ g − 1 \lambda_{g^{-1}} λ g − 1 λ g \lambda_g λ g G G G λ g ∈ S y m ( G ) \lambda_g \in \mathrm{Sym}(G) λ g ∈ Sym ( G )
**第二步 — 验证 Λ : G → S y m ( G ) , g ↦ λ g \Lambda : G \to \mathrm{Sym}(G),\; g \mapsto \lambda_g Λ : G → Sym ( G ) , g ↦ λ g x ∈ G x \in G x ∈ G λ g ∗ h ( x ) = ( g ∗ h ) ∗ x = g ∗ ( h ∗ x ) = ( λ g ∘ λ h ) ( x ) \lambda_{g * h}(x) = (g * h) * x = g * (h * x) = (\lambda_g \circ \lambda_h)(x) λ g ∗ h ( x ) = ( g ∗ h ) ∗ x = g ∗ ( h ∗ x ) = ( λ g ∘ λ h ) ( x ) Λ ( g ∗ h ) = Λ ( g ) ∘ Λ ( h ) \Lambda(g * h) = \Lambda(g) \circ \Lambda(h) Λ ( g ∗ h ) = Λ ( g ) ∘ Λ ( h ) Λ ( g ) = i d \Lambda(g) = \mathrm{id} Λ ( g ) = id λ g ( e ) = g ∗ e = g = e \lambda_g(e) = g * e = g = e λ g ( e ) = g ∗ e = g = e ker ( Λ ) = { e } \ker(\Lambda) = \{e\} ker ( Λ ) = { e } G G G Λ ( G ) ≤ S y m ( G ) \Lambda(G) \le \mathrm{Sym}(G) Λ ( G ) ≤ Sym ( G )
二次、三次、四次方程都有用 + , − , × , ÷ +, -, \times, \div + , − , × , ÷ 五次 方程(n = 5 n = 5 n = 5 S 5 S_5 S 5 伽罗瓦理论 为每个多项式关联一个作用在其根上的对称群,而用根式表示的公式存在,当且仅当该群可以由交换的"零件"逐步构建而成(即该群是可解的 )。S 5 S_5 S 5 A 5 A_5 A 5
大学 实际应用与典型例题 群论支撑着现代公钥密码学（Diffie–Hellman 密钥交换与椭圆曲线密码学依赖于离散对数困难的素数阶 p p p D 4 D_4 D 4 S 4 S_4 S 4
例题: 密码学：乘法群 ( Z / 11 Z ) × (\mathbb{Z}/11\mathbb{Z})^\times ( Z /11 Z ) ×
在用于 Diffie–Hellman 密钥交换的乘法群 ( Z / 11 Z ) × (\mathbb{Z}/11\mathbb{Z})^\times ( Z /11 Z ) × g = 2 g = 2 g = 2 3 3 3
解答 第一步 — 利用拉格朗日定理缩小元素阶的候选范围。 群 ( Z / 11 Z ) × (\mathbb{Z}/11\mathbb{Z})^\times ( Z /11 Z ) × { 1 , 2 , … , 10 } \{1, 2, \dots, 10\} { 1 , 2 , … , 10 } 11 11 11 ∣ G ∣ = 10 |G| = 10 ∣ G ∣ = 10 10 10 10 1 , 2 , 5 , 10 1, 2, 5, 10 1 , 2 , 5 , 10
**第二步 — 对 g = 2 g = 2 g = 2 11 11 11 2 1 ≡ 2 2^1 \equiv 2 2 1 ≡ 2 2 2 ≡ 4 2^2 \equiv 4 2 2 ≡ 4 2 5 = 32 ≡ 10 ≡ − 1 ≢ 1 ( m o d 11 ) 2^5 = 32 \equiv 10 \equiv -1 \not\equiv 1 \pmod{11} 2 5 = 32 ≡ 10 ≡ − 1 ≡ 1 ( mod 11 ) 10 10 10 1 1 1 2 10 ≡ ( − 1 ) 2 = 1 ( m o d 11 ) 2^{10} \equiv (-1)^2 = 1 \pmod{11} 2 10 ≡ ( − 1 ) 2 = 1 ( mod 11 ) g = 2 g = 2 g = 2 10 10 10 g = 2 g = 2 g = 2 ( Z / 11 Z ) × (\mathbb{Z}/11\mathbb{Z})^\times ( Z /11 Z ) ×
**第三步 — 求 3 3 3 3 3 3 11 11 11 3 × 4 = 12 ≡ 1 ( m o d 11 ) 3 \times 4 = 12 \equiv 1 \pmod{11} 3 × 4 = 12 ≡ 1 ( mod 11 ) 3 − 1 ≡ 4 ( m o d 11 ) 3^{-1} \equiv 4 \pmod{11} 3 − 1 ≡ 4 ( mod 11 )
例题: 分子与几何对称性：正方形的二面体群 D 4 D_4 D 4
设阶为 8 8 8 D 4 = ⟨ r , s ∣ r 4 = e , s 2 = e , s r s = r − 1 ⟩ D_4 = \langle r, s \mid r^4 = e,\; s^2 = e,\; srs = r^{-1} \rangle D 4 = ⟨ r , s ∣ r 4 = e , s 2 = e , sr s = r − 1 ⟩ 90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘ r r r s s s s r 2 s s r^2 s s r 2 s r s r r s r r sr D 4 D_4 D 4 H = ⟨ r ⟩ = { e , r , r 2 , r 3 } H = \langle r \rangle = \{e, r, r^2, r^3\} H = ⟨ r ⟩ = { e , r , r 2 , r 3 }
解答 **第一步 — 利用关系式 s r s = r − 1 = r 3 srs = r^{-1} = r^3 sr s = r − 1 = r 3 s s s s 2 = e s^2 = e s 2 = e r s = s r 3 r s = s r^3 r s = s r 3 r s ≠ s r = r 3 s r s \neq s r = r^3 s r s = sr = r 3 s D 4 D_4 D 4 r s r = ( s r 3 ) r = s r 4 = s r s r = (s r^3) r = s r^4 = s r sr = ( s r 3 ) r = s r 4 = s s r 2 s = ( s r s ) ( s r s ) = r − 1 r − 1 = r − 2 = r 2 s r^2 s = (srs)(srs) = r^{-1} r^{-1} = r^{-2} = r^2 s r 2 s = ( sr s ) ( sr s ) = r − 1 r − 1 = r − 2 = r 2
**第二步 — 将 D 4 D_4 D 4 H = ⟨ r ⟩ = { e , r , r 2 , r 3 } H = \langle r \rangle = \{e, r, r^2, r^3\} H = ⟨ r ⟩ = { e , r , r 2 , r 3 } ∣ D 4 ∣ = 8 |D_4| = 8 ∣ D 4 ∣ = 8 ∣ H ∣ = 4 |H| = 4 ∣ H ∣ = 4 [ D 4 : H ] = 8 / 4 = 2 [D_4 : H] = 8 / 4 = 2 [ D 4 : H ] = 8/4 = 2 H = { e , r , r 2 , r 3 } H = \{e, r, r^2, r^3\} H = { e , r , r 2 , r 3 } s H = { s , s r , s r 2 , s r 3 } sH = \{s, sr, sr^2, sr^3\} sH = { s , sr , s r 2 , s r 3 }
历史注记
拉格朗日(1770年)研究了多项式根的排列,尽管当时还没有现代群的概念。阿贝尔(1824年)证明了一般五次方程不存在根式求解公式。伽罗瓦(1832年)在决斗身亡前夜写的一封信中,通过给每个多项式关联一个群,精确指出了哪些方程能够 用根式求解——这就是群论作为独立学科的诞生。一个世纪后,埃米·诺特(20世纪20年代)围绕群、环、理想等抽象结构重新构建了代数学,纯粹从公理出发推理,而不依赖任何一个具体例子,这正是本页贯穿始终的抽象代数风格。
约瑟夫-路易·拉格朗日 尼尔斯·亨利克·阿贝尔 埃瓦里斯特·伽罗瓦 埃米·诺特
下列哪一个在给定运算下不是 一个群?
( Z , + ) (\mathbb{Z}, +) ( Z , + ) ( Z , × ) (\mathbb{Z}, \times) ( Z , × ) ( R ∖ { 0 } , × ) (\mathbb{R} \setminus \{0\}, \times) ( R ∖ { 0 } , × ) ( Z / 12 Z , + ) (\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}, +) ( Z /12 Z , + ) 有多少种旋转(包括不动)能把立方体映射到自身?
12 24 48 6
根据拉格朗日定理,下列哪个数不可能 是某个24阶群的子群的阶?
5 8 12 6
为什么一般的五次方程(n = 5 n = 5 n = 5 + , − , × , ÷ +, -, \times, \div + , − , × , ÷
与之相关的对称群 S 5 S_5 S 5 五次方程可能根本没有实数根。 5是一个质数。 S 5 S_5 S 5