选择公理蕴含佐恩引理

我们证明选择公理 $\implies$ 佐恩引理(其余等价关系是标准的但更长;这个方向是代数中不断被使用的方向)。设 $(P, \le)$ 为非空偏序集,其中每条链在 $P$ 中都有上界,反证假设 $P$ 没有极大元。

由于 $P$ 没有极大元,每个 $x \in P$ 在 $P$ 中都有某个严格上界(某元素 $y$ 满足 $x < y$):否则该 $x$ 自身就是极大元。特别地,每条链 $C \subseteq P$(由假设)都有上界,而该上界本身又有严格上界,故每条链在 $P$ 中都有严格上界。

由选择公理,固定一个选择函数,为每条链 $C \subseteq P$ 选出链 $C$ 的某个严格上界 $g(C)$。利用 $g$,构造由所有序数 $\alpha$ 编号的超限序列 $(a_\alpha)$:设 $a_0 = g(\emptyset)$,对每个序数 $\alpha$,当 $a_\beta$ 已对所有 $\beta < \alpha$ 定义好后,集合 $\{a_\beta : \beta<\alpha\}$ 是一条链(按构造,每个新项都是之前所有项的严格上界),于是定义 $a_\alpha = g(\{a_\beta : \beta<\alpha\})$,它是之前所有项的严格上界。

这产生了一个从序数到 $P$ 的严格递增映射:$\alpha < \beta \implies a_\alpha < a_\beta$。但序数全体不构成集合(不存在"所有序数组成的集合"),而 $P$ 是普通集合;从序数到 $P$ 的严格递增映射会使序数的基数不超过 $P$,这与"没有集合能够单射到像所有序数那样大的集合"这一事实(替换公理的推论)相矛盾。这一矛盾说明"$P$ 没有极大元"的假设为假,故 $P$ 有极大元,从而由选择公理证明了佐恩引理。